D25【模板】二分图最大匹配 匈牙利算法

D25【模板】二分图最大匹配 匈牙利算法_哔哩哔哩_bilibili

 

设 G 为二分图，若在 G 的子图 M 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 M 为 G 的一组匹配，包含边数最多的一组匹配称为二分图最大匹配

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，若能到达另一个未匹配点，则这条交替路称为增广路，例如 3→5→1→4→2→7

发现：增广路上的非匹配边比匹配边多一条。如果倒过来走，匹配边比非匹配边多一条，即找到一次增广路就会使匹配边增加 1 条

匈牙利算法

枚举所有左部点，搜索增广路来增加匹配边，找不到增广路时，达到最大匹配

第 1 轮，男生 1 选了女生 1，配对成功

第 2 轮，男生 2 选女生 1，男生 1 退让选女生 2，配对成功

第 3 轮，男生 3 选女生 2，男生 1 退让选女生 1，男生 2 退让选女生 4，配对成功

第 4 轮，男生 4 选女生 4，男生 2 退让选女生 1，男生 1 退让选女生 2，男生 3 退让失败，返回男生 1 选女生 3，配对成功

第 5 轮，男生 5 选女生 3，男生 1 退让选女生 1，男生 2 退让选女生 4，男生 4 退让失败，返回男生 1 选女生 2，男生 3 退让失败，返回男生 5 无女可配，配对失败

因为至多需要枚举 𝑂(|𝑉|) 个左部点 各一次，所以，算法总的时间复杂度为 𝑂(|𝑉||𝐸|)

参考：二分图最大匹配 - OI Wiki

 

P3386 【模板】二分图最大匹配 - 洛谷

// 二分图 匈牙利算法 O(V*E)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=505;
vector<int> e[N];
int n,m,k,ans;
int vis[N],match[N]; //女生参与,配对信息

bool dfs(int u){
  for(auto v:e[u]){
    if(vis[v]) continue; //若女生v已参与这一轮试配,就跳过
    vis[v]=1; //记录女生v参与这一轮试配
    if(!match[v] || dfs(match[v])){ //若女生v没配对 或 女生v的男友可以另选她人
      match[v]=u; //记录v的男友是u
      return 1;   //返回配对成功
    }
  }
  return 0; //返回配对失败
}
int main(){
  cin>>n>>m>>k;
  for(int i=0,a,b;i<k;i++)cin>>a>>b,e[a].push_back(b); //男连女
  
  for(int i=1;i<=n;i++){
    memset(vis,0,sizeof vis); //女生皆可参与这一轮试配
    if(dfs(i)) ans++; //若男生i配对成功,ans+1
  }
  cout<<ans;
}

 

// 二分图 匈牙利算法 O(V*E) 优化:去掉 memset
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=505;
vector<int> e[N];
int n,m,k,t,ans;
int vis[N],match[N]; //女生参与,配对信息

bool dfs(int u){
  for(auto v:e[u]){
    if(vis[v]==t) continue; //若女生v已参与第t轮试配,就跳过
    vis[v]=t; //记录女生v参与第t轮试配
    if(!match[v] || dfs(match[v])){ //若女生v没配对 或 女生v的男友可以另选她人
      match[v]=u; //记录v的男友是u
      return 1;   //返回配对成功
    }
  }
  return 0; //返回配对失败
}
int main(){
  cin>>n>>m>>k;
  for(int i=0,a,b;i<k;i++)cin>>a>>b,e[a].push_back(b); //男连女
  
  for(int i=t=1;i<=n;i++,t++)if(dfs(i)) ans++; //若男生i配对成功,ans+1  
  cout<<ans;
}