D06 最小环 Floyd 算法 P6175 无向图的最小环问题

D06 最小环 Floyd 算法 P6175 无向图的最小环问题_哔哩哔哩_bilibili

 

最小环 - OI Wiki

过程

记原图中 𝑢,𝑣 之间边的边权为 𝑣𝑎𝑙(𝑢,𝑣)．

我们注意到 Floyd 算法有一个性质：在最外层循环到点 𝑘 时（尚未开始第 𝑘 次循环），最短路数组 𝑑𝑖𝑠 中，𝑑𝑖𝑠_𝑢,𝑣 表示的是从 𝑢 到 𝑣 且仅经过编号在 [1,𝑘) 区间中的点的最短路．

由最小环的定义可知其至少有三个顶点，设其中编号最大的顶点为 𝑤，环上与 𝑤 相邻两侧的两个点为 𝑢,𝑣，则在最外层循环枚举到 𝑘 =𝑤 时，该环的长度即为 𝑑𝑖𝑠_𝑢,𝑣 +𝑣𝑎𝑙(𝑣,𝑤) +𝑣𝑎𝑙(𝑤,𝑢)．

故在循环时对于每个 𝑘 枚举满足 𝑖 <𝑘,𝑗 <𝑘 的 (𝑖,𝑗)，更新答案即可．

记录路径

现在已经知道了环的形式为 𝑢 →𝑘 →𝑣，然后再从 𝑣 回到 𝑢（经过的点编号均 <𝑘）．

问题转化为求 𝑣 ⇝𝑢 的路径．由三角不等式 𝑑𝑖𝑠𝑢,𝑣 ≤𝑑𝑖𝑠𝑢,𝑖 +𝑑𝑖𝑠𝑖,𝑣，考虑记录 𝑝𝑜𝑠𝑢,𝑣 =𝑗 表示使得 𝑑𝑖𝑠𝑢,𝑣 =𝑑𝑖𝑠𝑢,𝑗 +𝑑𝑖𝑠𝑗,𝑣 的点．显然 𝑗 就在 𝑣 ⇝𝑢 的路径上．

于是可以将路径转化为 𝑣 ⇝𝑗 和 𝑗 ⇝𝑢 两段，分别递归处理即可．

P6175 无向图的最小环问题 - 洛谷

// Floyd 最小环 O(n^3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int n,m,a,b,c,ans=1e8;
int w[N][N],d[N][N];

int main(){
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      if(i!=j) w[i][j]=1e8;
  for(int i=1;i<=m;i++){
    cin>>a>>b>>c;
    w[a][b]=w[b][a]=c;
  }
  memcpy(d,w,sizeof w);

  for(int k=1; k<=n; k++){
    for(int i=1; i<k; i++)
      for(int j=i+1; j<k; j++)
        ans=min(ans,d[i][j]+w[j][k]+w[k][i]); //i<j<k
    for(int i=1; i<=n; i++)
      for(int j=1; j<=n; j++)
        d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
  }
  if(ans==1e8) puts("No solution.");
  else printf("%d\n",ans);
}