D04【模板】最短路 Floyd 算法

D04【模板】最短路 Floyd 算法_哔哩哔哩_bilibili

 

最短路 - OI Wiki

Floyd 算法

是用来求任意两个结点之间的最短路的．

复杂度比较高，但是常数小，容易实现（只有三个 for）．

适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在．（不能有负环）

实现

我们定义一个数组 f[k][x][y]，表示只允许经过结点 1 到 𝑘，结点 𝑥 到结点 𝑦 的最短路长度．

很显然，f[n][x][y] 就是结点 𝑥 到结点 𝑦 的最短路长度．

f[0][x][y]：当 𝑥 =𝑦 的时候为零，因为到本身的距离为零；当 𝑥 与 𝑦 没有直接相连的边的时候，为 +∞．

f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y],f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])（f[k-1][x][y]为不经过 𝑘 点的最短路径，f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y]为经过了 𝑘 点的最短路）．

我们可以发现数组的第一维是可以省略的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y],f[x][k]+f[k][y])．

综上时间复杂度是 𝑂(𝑁³)，空间复杂度是 𝑂(𝑁²)

应用

给一个正权无向图，找一个最小权值和的环．

已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通．求 图的传递闭包．

 

B3647 【模板】Floyd - 洛谷

// Floyd 算法 O(n^3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int n,m,a,b,c;
int d[N][N];

void floyd(){
  for(int k=1; k<=n; k++)
    for(int i=1; i<=n; i++)
      for(int j=1; j<=n; j++)
        d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
int main(){
  cin>>n>>m;
  memset(d,0x3f,sizeof d);
  for(int i=1; i<=n; i++) d[i][i]=0;
  for(int i=0; i<m; i++){
    cin>>a>>b>>c;
    d[a][b]=d[b][a]=min(d[a][b],c); //处理重边
  }
  floyd();
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++)
      printf("%d ",d[i][j]);
    puts("");
  }
}

 

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