题意:给一个序列A,要求构造序列B,使得 Bi <= Ai, gcd(Bi) > 1, 1 <= i <= n, 输出构造的方法数。
析:首先这个题直接暴力是不可能解决的,可以先找出最大值mmax和最小值mmin,然后枚举每个gcd,也就是最大公约数d,那么其他数就应该是d 2*d 3*d 4*d ...。如果把每个数的个数求出来。那么答案就是每一种 d 的数量的和,每一种的数量就是 a1 * a2 * a3 ... an,其中是 ai 是 第 i 个数所能取到 d 的数量。
这样做复杂度不但很高,而且还有重复的数,比如当d = 2时,假设所以选的B都是 6,6,6,6,....,6,那么当 d = 3 时或者是 d = 6时,同样还可能选择6,6,6,6,...,6,所以这样的算重了,需要把重复的删除,这里就用到莫比乌斯函数,通过它可以直接得到当d = x时是加上还是减去。
就算是去重了,时间复杂度还是很高,要再次进行优化,对于每个 d,我们可以直接求每个数所能选的最大数数量,并且可能通过区间直接进行求取,比如 t = Ai / d,那么它的范围就是 [t*d, t*d+d-1],这样就能对于每个区间进行处理,把复杂度降到 n*log(n)*log(n),因为还要用一次快速幂。
代码如下:
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #include <cstdio> #include <string> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <iostream> #include <cstring> #include <set> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <map> #include <cctype> #include <cmath> #include <stack> #include <sstream> #include <list> #include <assert.h> #define debug() puts("++++"); #define gcd(a, b) __gcd(a, b) #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 #define fi first #define se second #define pb push_back #define sqr(x) ((x)*(x)) #define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a) #define sz size() #define pu push_up #define pd push_down #define FOR(x,n) for(int i = (x); i < (n); ++i) #define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin) #define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout) using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int, int> P; const int INF = 0x3f3f3f3f; const double inf = 1e20; const double PI = acos(-1.0); const double eps = 1e-8; const int maxn = 1e5 + 5; const LL mod = 1e9 + 7; const int dr[] = {-1, 0, 1, 0}; const int dc[] = {0, 1, 0, -1}; const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"}; int n, m; const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31}; const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31}; inline bool is_in(int r, int c) { return r > 0 && r <= n && c > 0 && c <= m; } int len; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; int mu[maxn]; int cnt[maxn*2]; void init(){ mu[1] = 1; FOR(2, maxn){ if(!vis[i]){ prime[len++] = i; mu[i] = -1; } for(int j = 0; j < len && i * prime[j] < maxn; ++j){ vis[i*prime[j]] = 1; if(i % prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i]; else{ mu[i*prime[j]] = 0; break; } } } } LL fast_pow(LL a, int n){ LL res = 1; while(n){ if(n&1) res = res * a % mod; n >>= 1; a = a * a % mod; } return res; } int main(){ init(); int T; cin >> T; for(int kase = 1; kase <= T; ++kase){ ms(cnt, 0); scanf("%d", &n); int mmin = maxn, mmax = -1; FOR(0, n){ int x; scanf("%d", &x); ++cnt[x]; mmin = min(mmin, x); mmax = max(mmax, x); } for(int i = mmin; i <= mmax*2; ++i) cnt[i] += cnt[i-1]; LL ans = 0; for(int i = 2; i <= mmin; ++i){ LL tmp = 1; int t = mmax / i; for(int j = 2; j <= t; ++j) tmp = tmp * fast_pow(j, cnt[j*i+i-1] - cnt[j*i-1]) % mod; ans = (ans - mu[i] * tmp + mod) % mod; } printf("Case #%d: %I64d\n", kase, ans); } return 0; }