Z算法

   z-algorithm是一种字符串匹配算法，能够实现功能：对字符串S，O(n)地求出S的全体后缀与S自身的最长公共前缀的长度，记录在数组z[]中（z[i]即suffix i与S的最长公共前缀的长度）。

         一、算法原理与实现

        约定：

        字符串S的下标从0开始；

        S[i...j]代表字符串S[i]S[i+1]...S[j]；

        suffix i代表S的以S[i]开头的后缀，即S[i...strlen(S)-1]。

        算法的思路和manacher算法的思路类似，步骤如下：

        0.初始令指针i=1，j=1；

        1.若j<i，则j=i，比较S[j]与S[j-i]，若相等则j自增继续比较，若不等则停下，此时有z[i]=j-i且S[j]!=S[j-i]；

        2.考虑利用S[0...j-i-1]与S[i...j-1]相等这个性质优化z[i+1...j-1]的计算。令指针k从i+1开始向后遍历，若k+z[k-i]<j，则z[k]=z[k-i]，否则停止遍历，令i=k，转步骤1。

        这里解释一下步骤2：当k+z[k-i]<j时，由于S[k...k+z[k-i]]=S[k-i...k-i+z[k-i]]，所以suffix k的匹配结果与suffix k-i的匹配结果相同，所以z[k]=z[k-i]。

        代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
const int maxn=1e6+10;  
int n,z[maxn];  
char S[maxn];  
void zjz()  
{  
    z[0]=n;  
    int j=1,k;  
    for (int i=1;i<n;i=k)  
    {  
        if (j<i) j=i;  
        while (j<n&&S[j]==S[j-i]) j++;  
        z[i]=j-i;  
        k=i+1;  
        while (k+z[k-i]<j)  
        {  
            z[k]=z[k-i];k++;  
        }  
    }  
}  
int main()  
{  
    scanf("%s",S);  
    n=strlen(S);  
    zjz();  
    for (int i=0;i<n;i++) cout<<z[i]<<" ";  
    return 0;  
}  

　　

    对时间复杂度的分析：由于指针i与j均以增加量1单调增加，所以指针i与j的移动次数都是O(n)，算法的时间复杂度与指针i与j的移动次数成正比，所以总时间复杂度为O(n)。

 

        二、算法的应用

        1.字符串匹配问题：给定一个模板串P和文本串T，问P在T的哪些位置出现。

        令字符串S=P+'$'+T，对S跑一遍z-algorithm，z[strlen(P)+1...strlen(P)+strlen(T)]中值为strlen(P)的下标集全体元素减去strlen(P)+1即为所求位置集。

        2.dutoj1087：给定2个字符串A和B，问A有多少后缀是B的前缀。

        令字符串S=B+'$'+A，对S跑一遍z-algorithm，z[strlen(B)+1...strlen(B)+strlen(A)]中值不为0的元素的个数即为所求答案。