RANSAC

RANSAC是“RANdom SAmple Consensus（随机抽样一致）”的缩写。它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。核心思想就是随机性和假设性，随机性用于减少计算，循环次数是利用正确数据出现的概率。所谓的假设性，就是说随机抽出来的数据都认为是正确的，并以此去计算其他点，获得其他满足变换关系的点，然后利用投票机制，选出获票最多的那一个变换。

RANSAC的基本假设是：
（1）数据由“局内点”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；
（2）“局外点”是不能适应该模型的数据；
（3）除此之外的数据属于噪声。
局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。

RANSAC与最小二乘区别：最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，必须小心的选择算法的参数（参数配置）。经实验验证，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。

验证思路：RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。
RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

参数选择：
根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数 t 和 d。然而参数 k（迭代次数）可以从理论结果推断。当估计模型参数时，用 p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此 p也表征了算法产生有用结果的概率。用 w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：
    w = 局内点的数目 / 数据集的数目
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，wⁿ是所有n个点均为局内点的概率；1 − wⁿ是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wⁿ)^k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，
   1 − p = (1 − wⁿ)^k
我们对上式的两边取对数，得出
   
值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。
为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：
  

测试代码：

%%%implementation of 2D line fitting

clc;clear all;close all;
data = [1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,4.6,1.6,5.5,3.4;0.7,-1.0,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,0.0,0.8,3.7,2.0];
num = 5; iter = 10; threshDist = 1.0; inlierRatio = 0.5;
% function [bestParameter1,bestParameter2] = ransac_demo(data,num,iter,threshDist,inlierRatio)
 % 

data

: a 2xn dataset with #n data points
 % 

num

: the minimum number of points. For line fitting problem, num=2
 % iter: the number of iterations
 % 

threshDist

: the threshold of the distances between points and the fitting line
 % inlierRatio: the threshold of the numer of inliers 
 
 %% Plot the data points
 figure;plot(data(1,:),data(2,:),'o');hold on; % 显示数据点
 number = size(data,2); % Total number of points
 bestInNum = 0; % Best fitting line with largest number of inliers
 bestParameter1=0;bestParameter2=0; % parameters for best fitting line
 for i=1:iter
 %% Randomly select 2 points
     idx = 

randperm

(number,num); sample = data(:,idx);  %随机选取五组数据   
 %% Compute the distances between all points with the fitting line 
    kLine = sample(:,2)-sample(:,1); 

%第二点减去第一点

    kLineNorm = kLine/norm(kLine);

%欧式范数，表示两点间的距离(向量x的模长)，归一化向量

    normVector = [-kLineNorm(2),kLineNorm(1)];
    distance = normVector*(data - repmat(sample(:,1),1,number));

%将矩阵A复制m×n块,复制第一个数据点十份，叉积

%% Compute the inliers with distances smaller than the threshold
     inlierIdx = find(abs(distance)<=threshDist);
     inlierNum = length(inlierIdx);
 %% Update the number of inliers and fitting model if better model is found     
     if inlierNum>=round(inlierRatio*number) && inlierNum>bestInNum
         bestInNum = inlierNum;
         parameter1 = (sample(2,2)-sample(2,1))/(sample(1,2)-sample(1,1));
         parameter2 = sample(2,1)-parameter1*sample(1,1);
         bestParameter1=parameter1; bestParameter2=parameter2;
     end
 end
 
 %% Plot the best fitting line
 xAxis = -number/2:number/2; 
 yAxis = bestParameter1*xAxis + bestParameter2;
 plot(xAxis,yAxis,'r-','LineWidth',2);
 title(['bestParameter1 = ',num2str(bestParameter1),'bestParameter2 = ',num2str(bestParameter2)]);

优点与缺点：
RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。
RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

图像拼接技术应用：

      由于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。（椭圆拟合）

参考资料：

西澳大学MATLAB函数库：http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/Research/MatlabFns/#robust

MATLAB官网：http://cn.mathworks.com/discovery/ransac.html

WiKi维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/RANSAC

参考博客：http://blog.csdn.net/iamsheldon/article/details/8011676