【字符串】后缀数组SA
后缀数组
概念
实际上就是将一个字符串的所有后缀按照字典序排序
得到了两个数组 \(sa[i]\) 和 \(rk[i]\)，其中 \(sa[i]\) 表示排名为 i 的后缀，\(rk[i]\) 表示后缀 i 的排名
注意到 \(rk\) 和 \(sa\) 是互逆的，即 \(sa[rk[i]]=rk[sa[i]]=i\)
先讨论几个关于 \(lcp\) 的性质，令 \(lcp(i,j)\) 表示 \(sa[i]\) 和 \(sa[j]\) 的最长公共前缀
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\(lcp(l,r)=min(lcp(l,i),lcp(i,r)),l\le i\le r\)，注意这里只需要枚举任意一个 i 即可
证明：
令 \(p=min(lcp(l,i),lcp(i,r)),sa[l]=u,sa[r]=v,sa[i]=w\)
由于 \(u\) 和 \(w\) 的前 \(p\) 位相同，\(v\) 和 \(w\) 的前 \(p\) 位相同
所以 \(u\) 和 \(v\) 的 \(lcp\) 至少为 \(p\)
假设 \(u\) 和 \(v\) 的 \(lcp>p\)，不妨设其为 \(q=p+k\)
我们知道 \(u[q]\neq w[q],v[q] \neq w[q]\)，并且 \(w[q]\ge u[q],v[q]\ge w[q]\)
那么 \(w[q]\) 只能是 \(>u[q]\)，且 \(v[q]\) 只能是 \(>w[q]\)，所以 \(u[q]\) 不可能等于 \(v[q]\)
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\(lcp(l,r)=min_{i=l+1}^rlcp(i,i-1)\)
证明：
注意到 \(lcp(l,r)=min(lcp(l,l+1),lcp(l+1,r))\)
递归运算即可得到上式
根据这两个数组我们能得到 \(H\) 数组，\(H[i]\) 表示 \(sa[i]\) 和 \(sa[i-1 ]\) 的最长公共前缀的长度
\(H\) 有两个性质
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\(H[rk[i]]\ge H[rk[i-1]]-1\)
证明：
令 \(suf[k]\) 为排名正好在 \(suf[i-1]\) 前一个的后缀，那么它们的公共前缀的长度就是 \(H[rk[i-1]]\)
注意到 \(su f[k+1]\) 的排名一定在 \(suf[i]\) 之前，而 \(suf[k+1]\) 和 \(suf[i]\) 的最长公共前缀至少是 \(H[rk[i-1]]-1\)
所以 \(H[rk[i]]\ge H[rk[i-1]] - 1\)
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后缀 \(x\) 和 \(y\) 的最长公共前缀为 \(\min_{i=rk[x]+1}^{rk[y]}H[i]\)，实际上这就是 \(lcp\) 的第二个性质
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\(sa[i]\) 与 \(sa[1]\) 到 \(sa[i-1]\) 的最长公共前缀是与 \(sa[i-1]\) 的最长公共前缀
实际应用中求 \(sa\) 的方法就是倍增了 = =，具体实现原理就不写了 = =
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1000010
using namespace std;
int n, m;
char s[maxn];
int tax[maxn], tp[maxn], sa[maxn], rk[maxn], M = 122;
void rsort() { // tp[i] 表示排序时第二关键字为 i 的后缀是什么
// rsort 的实际作用就是按照 rk[i] 为第一关键字，tp[i] 为第二关键字从小到大排序
for (int i = 0; i <= M; ++i) tax[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) ++tax[rk[i]];
for (int i = 1; i <= M; ++i) tax[i] += tax[i - 1];
for (int i = n; i; --i) sa[tax[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
}
int c1, H[maxn]; // c1 表示不同的 rk[i] 有多少个，当 c1 == n 时，排序完毕
void SA() {
if (n == 1) return (void) (sa[1] = rk[1] = 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) rk[i] = s[i], tp[i] = i; rsort();
for (int k = 1; k < n; k *= 2) { // k 是已经排序完毕的长度
if (c1 == n) break; M = c1; c1 = 0; // c1 清零之后就暂时当做计数器用了
for (int i = n - k + 1; i <= n; ++i) tp[++c1] = i;
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (sa[i] > k) tp[++c1] = sa[i] - k; // 更新 tp 数组
rsort(); // 在进行这个 rsort 之前，sa 和 rk 排序的长度依旧是 k
// rsort 结束之后，sa 得到了更新，所以下面的操作是更新 rk
swap(rk, tp); rk[sa[1]] = c1 = 1; // 这时候的 tp 变成了上一轮的 rk，c1 是计数器同时是不同的 rk[i] 的个数
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (tp[sa[i - 1]] != tp[sa[i]] || tp[sa[i - 1] + k] != tp[sa[i] + k]) ++c1;
// 如果排名为 i - 1 和排名为 i 的串的前 k 位相同，并且前 2k 位也相同，那么这两个串的排名就暂时相同了
rk[sa[i]] = c1;
}
} int lcp = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (lcp) --lcp;
int j = sa[rk[i] - 1];
while (s[j + lcp] == s[i + lcp]) ++lcp;
H[rk[i]] = lcp;
}
}
int main() {
scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1); SA();
for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", sa[i]);
return 0;
}
应用
单个字符串
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可重叠最长重复子串
定义：对于一个串，如果它的一个子串在原串中出现出现至少两次，则称这个子串是一个重复子串
可重叠指两次出现的位置可以重叠
直接求 \(H\) 的最大值即可
证明：同理，一个子串一定是某一个后缀的前缀
所以原问题相当于求两个后缀的最长公共前缀的最大值，这个东西显然就是 \(H\) 的最大值
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可重叠重复子串计数
求有多少本质不同的子串出现至少两次
再次重申，子串 = 某一个后缀的一个前缀
我们考虑将所有后缀按照字典序加入，我们求没加入一个后缀对答案贡献多少
首先他所贡献的重复的子串为 \(H[i]\)，但是有一些已经被记过数了
所以我们考虑去重
以下开始胡扯 不知道给怎么说了
给个答案吧 \(ans=\sum_{i=1}^nmax(H[i]-H[i-1],0)\)
不过讲道理，这个东西 \(SAM\) 随便做
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不可重叠最长重复子串
注意到 \(H\) 这个东西是极大的，考虑二分答案 x
那么我们考虑如果固定一个 \(sa[i]\)，那么排名在 \(sa[i ]\) 前面的，且与 \(sa[i]\) 的最长公共前缀的大小至少为 \(x\)，且与 \(sa[i]\) 的位置相差至少为 \(x\)（要不然就重合了
假设这个串为 \(sa[j]\)，注意到因为 \(H\) 这个东西是极大的，所以 \(sa[i]\) 与 \(sa[j+1]\) 到 \(sa[i-1]\) 这些串的最长公共前缀都至少为 \(x\)，实际上 \(H[j+1]\) 到 \(H[i]\) 都至少为 \(x\)
upd：那么反过来就是如果 \(H[j+1]\) 到 \(H[i]\) 都大于等于 \(x\)，那么 \(sa[i]\) 和 \(sa[j]\) 的 \(lcp\) 至少为 \(x\)
这启示我们将 \(H\) 按照二分的 \(x\) 分组，也就是说 \(\ge x\) 且连续的 \(H\) 分一组，如果某一组里的后缀的位置的最大值 - 最小值 \(\ge x\)，则表示二分的这个值合法
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可重叠的 \(k\) 次最长子串
同样二分答案，只不过判断的是否有一个组的个数大于等于 \(k\)
按照 3 的思路，我们发现只需要求每一个 \(H\) 的每一个 \(k-1\) 区间的最小值即可
显然可以单调队列维护
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本质不同的子串的个数
实际上就是求所有后缀有多少本质不同的前缀
我们考虑按照将所有后缀按照字典序排序，那么每次新加进来的一个后缀的前缀的个数为 \(n-sa[i]+1\)，但是与前面的所有后缀重复的前缀有 \(H[i]\) 个，因为 \(H\) 是极大的
答案即为 \(\sum_{i=1}^nn-sa[i]+1-H[i]\)
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重复出现次数最多的连续重复子串
我们考虑枚举连续重复子串的长度 \(l\)，然后我们将串分成 \(\lfloor\frac{n}{l}\rfloor\) 块
求出相邻两块的 \(lcp\) 的长度 \(k\)，那么出现次数为 \(k/l+1\)
注意还要检查一下块前面的一部分是否可以加进去
时间复杂度为 \(O(n\log n)\)
两个字符串
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两个串的最长公共子串
将两个串之间用没有出现过的字符拼接起来
然后直接后缀排序，注意到不会有任何一个 \(H[i]\) 能够跨越未知字符
如果 \(sa[i]\) 和 \(sa[i-1]\) 不是同一个串的后缀，那么可以拿 \(H[i]\) 来更新答案
容易知道最大值一定是取在某个 \(sa[i]\) 和 \(sa[i-1]\)
upd：为啥我现在不知道了
还是随便口胡一下吧
因为至少有一个 \(sa[i]\) 和 \(sa[i-1]\) 是分别属于不同串的后缀的
如果只有一个的话，那么这个 \(H[i]\) 就是答案，因为 \(H\) 是极大的
如果有多个的话，就取最大值好了
或者换个说法如果最终答案是 \(sa[i]\) 和 \(sa[j]\) 的 \(lcp\)，且 \(i\) 和 \(j\) 不相邻
那么 \(H[j+1]\) 到 \(H[i]\) 都是至少有这么大的，中间一定有一对 \(sa[k]\) 和 \(sa[k+1]\) 不属于同一个串的后缀
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长度不小于 \(k\) 的公共子串个数
