区间DP
一.什么是区间dp?
顾名思义:区间dp就是在区间上进行动态规划,求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的 最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。
二.核心思路
既然让我求解在一个区间上的最优解,那么我把这个区间分割成一个个小区间,求解每个小区间的最优解,再合并小区间得到大区间即可。所以在代码实现上,我可以枚举区间长度len为每次分割成的小区间长度(由短到长不断合并),内层枚举该长度下可以的起点,自然终点也就明了了。然后在这个起点终点之间枚举分割点,求解这段小区间在某个分割点下的最优解。
for(int len = 1;len<=n;len++){//枚举长度 for(int j = 1;j+len<=n+1;j++){//枚举起点,ends<=n int ends = j+len - 1; for(int i = j;i<ends;i++){//枚举分割点,更新小区间最优解 dp[j][ends] = min(dp[j][ends],dp[j][i]+dp[i+1][ends]+something); } } }
一共有三层循环,前两层很简单,最后一层是这样的:i是长度为len里的,i前面和后面加起来,在加一个something,是j到end最min的一个值。
三.朴素区间dp(n^3)
例题:石子归并1
传送门:戳我呀
转移方程:
dp[j][ends] = min(dp[j][ends],dp[j][i]+dp[i+1][ends]+weigth[i][ends]);
j~ends堆合并 = 较小的(原来, 分割点i坐部分重量 + 分割点i右边部分重量 + 合并后两堆总重量)
注:可以用sum[j] - sum[i - 1]表示i~j堆的重量!
四.题目变形(线性变环状)
例题:石子归并2
题意:原题与上面相同,但是石子排列由线性排列变成环状排列,求解
思路:环状以后合并区间的情况就可以从后往前合并,最后合并完成可能是1~n,2~n~1,3~n~2.....这种n个石子合并的情况。所以我们可以破环成链,将前n-1各元素也放到n后面构成一个线性的环状序列,在对这个序列dp即可
代码:codevs 2102环状石子归并求最大值和最小值
五.时间优化(四边形优化,n^2)
思路:在查找最优分割点的时候,我们浪费了大量时间。那么我们可以把最优分割点保存下来,在查找的时候利用保存的最优分割点来优化查找过程。
四边形不等式优化:
(1)功能:用来寻找,s[i][j](i~j的最优分割点)与其他分割点的关系
(2)不等式内容:如果某东西满足a<b<=c<d且f[a][c]+f[b][d]<=f[a][d]+f[b][c],则说这个东西满足四边形不等式。简而言之:交叉小于包含!
(3)结论关系:s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
(4)证明过程:
0.证明w满足四边形不等式,这里w是m的附属量,形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]},此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
1.证明m满足四边形不等式
2.证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]
(5)证明请参考:点击打开链接
代码:(以石子归并v2为例)
六.四道入门题目(难点在于怎么找状态转移方程)
1.Poj2955 括号匹配(一)
(1)题意:给出一个的只有'(',')','[',']'四种括号组成的字符串,求 最多 有多少个括号满足题目里所描述的完全匹配。
(2)思路:这里的状态转移是以一个if为基础的,如果s[i]与s[j]匹配,那么明显的dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;然后在这个基础上枚举分割点k.
(3)状态转移方程:dp[i][j]表示第i~j个字符间的最大匹配字符数。
if(s[i] 与 s[j]匹配) dp[i][j] = d[[i+1][j-1] +2;
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
代码:
2.Poj1651 抽卡片
(1)题意:给你n个数字,要求不能删除两端点的数字,然后删除其他数字的代价是该数字和左右相邻数字的乘积,问把数字(除端点)删完后的最小总代价。
(2)思路:因为最后都要删掉中间所有的数字,所以我们分隔一个个小区间删数字,合并区间求最小。那么我们的状态就是目前删掉的数字区间,但是我们分割的时候的意思是抽一个卡片出来,所以这个卡片不能在已经抽出的状态里面,所以dp[i][j]里面是不包含j卡片的!
(3)状态转移方程:dp[i][j]表示抽出第i~j-1张卡片时候的最小值
dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] +num[i-1]*num[k]*num[j]);
代码:
3.整数划分(四)
(1)题意:给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号,将n分成m段,求出这m段的最大乘积
(2)思路:这里给的乘号是有限个,所以状态方程里必须包含使用乘号的个数,此外还要包含区间长度。所以怎么用二维dp实现包含m和n,我们可以用dp[i][j]表示在第1~i个字符里插入j个乘号的最大值。
(3)状态转移方程 dp[i][j]表示在第1~i个字符里插入j个乘号的最大值;用num[i][j]表示第i~j个字符表示的数字;
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i])
代码:
4.最多回文子串 hdu4632
(1)题意:给你一个字符串,求出其最多的可构成的回文字串(不要求连续),注:这里不同的回文字串只要求位置不同即可视为不同,如:aaaaa 的最多回文子串数目是 31.
(2)思路:用dp[i][j]表示状态,表示i~j里最多的回文字串数目,假设现在我们要求dp[i][j]:
a.首先:由前一个状态知:dp[i][j] = dp[i+1][j]并上dp[i][j-1] (因为区间尽可能大而且状态要在dp[i][j]之前,而且回文子串不要求 连续),由容斥原理得:dp[i+1][j] U dp[i][j-1] = dp[i+1][j]+dp[i][j-1] - dp[i+1][j] n dp[i][j-1]
= dp[i+1][j]+dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]
注意:这是一个固定的状态,每一个状态都由这个公式推出初始状态,是必须的,不是可选择地
b.其次:如果s[i] == s[j] ,那么两端单独就可以构成回文子序列,而且与dp[i+1][j],dp[i][j-1],dp[i+1][j-1],中的回文序列又可以构成新的回文序列,所以此时dp[i][j] = dp[i+1][j] U dp[i][j-1] + dp[i+1][j-1] +1;而dp[i][j]已经更新为 dp[i+1][j] U dp[i][j-1],所以dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1] +1;
(3)状态转移方程: dp[i][j]表示i~j内最多的回文字串数目
dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i][j-1] -dp[i+1][j-1] (容斥)
if(s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i][j] +dp[i+1][j-1] +1; (思维)
注:这里因为容斥时有减法,所以要先加上模再取模,要不会出
现负数!