群子群陪集

一群、子群、陪集

实数集R上定义两种运算:

$+$: $R\times R \rightarrow R$（加法）
$*$: $R\times R \rightarrow R$（乘法）

满足 $R$ 在 $+$ 运算下是 阿贝尔群 (交换群)，和 $R - {0} = R^{*}$ 在 $*$ 运算下也是 阿贝尔群。回顾一些阿贝尔群的定义。

定义2.1. 群是具有二元运算 ($\cdot$) 的一个集合 $G$

$\cdot$ : $G\times G \rightarrow G$，$\forall a, b \in G$ 元素 $a\cdot b \in G$

该运算 $\cdot$ 具有以下性质:

$\cdot$ 是结合的
有一个恒等元 $e \in G$
$G$ 中的每个元素是可逆的。

更明确地说，这意味着 $\forall a, b, c \in G$ 满足下面性质：

$G1$: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (结合性)
$G2$: $a \cdot e = e \cdot a = a$ (同一性，具有幺元)
$G3$: $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ 使得 $a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e$ (存在逆元)

如果一个群满足 $\forall a, b \in G, a \cdot b = b \cdot a$ ，则该群是 阿贝尔群（交换群）

如果一个集合 $M$ 定义了一个运算 $\cdotp$ : $M \times M \rightarrow M$ 但是这个运算只满足性质 $G1$ 也就是，该运算是 可结合 的，则 $M$ 是定义在运算 ($\cdotp$) 上的半群

如果半群 $<M,\cdot>$ 存在幺元，就称为其为 独异点。

例如，自然数集合 $N={0,1,\cdots, n, \cdots}$ 在加法下是一个（可交换的）独异点。但是，他不是一个群。

下面给出一些群的例子

例2.1

自然数集合 $Z = \{\cdots, -n, \cdots, -1, 0, 1 \cdots, n, \cdots\}$ 是一个定义在加法运算下的阿贝尔群，幺元(单位元素)为 $0$。但是 $Z^{*} - Z - {0}$ 在乘法下不是一个群。
有理数集合 $Q$ （$p,q \in Z \land q \ne 0, \frac{p}{q}\in Q$）是一个定义在加法（addition）下的阿贝尔群，幺元为0；集合 $Q^{*} = Q-{0}$ 也是一个阿贝尔群，且是定义在乘法（multiplication）下，幺元为 $1$
给定一个非空集合 $S$ ；双射 $f:S \rightarrow S$ 的集合（也叫 $S$ 的一个排列），是一个定义在 函数组合（例如，$f$ 和 $G$ 的方法是组合 $g \circ f$）下的一个群，幺元为恒等函数 $id_S$ 。只要 $S$ 有两个以上的元素这个群就不是 交换群。集合 $S={1, \cdots, n}$ 的排列常记为 $Sn$，称为 $n$ 个元素上的对称群
对任意的正整数 $p \in N$ ，定义在 $Z$ 上一个关系，表示 $m \equiv n \quad (mod \quad p)$ 如下所示

$m \equiv n \quad (mode \quad p)$ , 当且仅当(iff), $\exists k \in Z$ 使得 $m-n=kp$

可以很容易地检查这是一个等价关系，而且，它在加法和乘法方面是兼容的。

这意味着，如果 $m_1 \equiv n_1 (mod p)$ 且 $m_2 \equiv n_2 (mod p)$ ，则 $m_1 + m_2 \equiv n_1+n_2 (mod p)$ 且 $m_1m_2 \equiv n_1n_2 (mod p)$ 。

因此，我们可以定义 等价类 集（$mod p$）的加法运算和乘法运算:

\[[m] + [n] = [m + n] \]
和

\[[m] \cdot [n] = [mn] \]
很容易地检查 剩余类（$mod p$）的加法是导致 $[0]$ 为零的阿贝尔群结构。该群表示为 $\frac{Z}{pZ}$ 。
具有实（或复）系数的 $n \times n$ 可逆矩阵 集是 矩阵乘法 下的一个群，其 幺元为单位矩阵$E$($(I_n)$)。

这个群称为一般 线性群，通常用 $GL(n,R)$ (或 $GL(n,C)$)表示。
具有实数（或复数）系数的 $n \times n$ 可逆矩阵 $A$ 的集合使得 $det(A)=1$ 是 矩阵乘法 下的一个群，幺元为单位矩阵。

这个群称为 特殊线性群，通常用 $SL(n, R)$ (或 $SL(n,C)$)表示。
具有 实系数 的 $n \times n$ 矩阵 $Q$ 的集合，使得

\[Q^{T}Q=I_n \]
是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；我们有 $Q^{-1} = Q^{T}$。

这组叫做 正交群 ，通常用 $O(n)$ 表示
具有 实数系数 的 $n \times n$ 可逆矩阵 $Q$ 的集合，使得

\[QQ^{T}=Q^{T}Q=I_n \land \quad det(Q) = 1 \]
是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；如(6)，我们有$Q^{−1}=Q^{T}$。

这种群称为 特殊正交群 或 旋转群，通常用 $SO(n)$ 表示。

当 $n \ge 2$ 时，$(5)-(8)$ 中的群是 非阿贝尔群，除了 $SO(2)$ 是阿贝尔群(但 $O(2)$ 不是阿贝尔群)。

习惯上用 $+$ 表示交换群 $G$ 的运算，在这种情况下，元素 $a \in G$ 的逆 $a^{-1}$ 用 $-a$ 表示。

群的 单位元素(幺元)是 唯一的。事实上，我们可以证明一个 更普遍 的事实:

命题2.1 : 如果一个二元运算 $\cdotp : M \times M \rightarrow M$ 是结合的，如果 $e^{'} \in M$ 是左单位元素（左幺元），$e^{''} \in M$ 是右单位元素（右幺元），即

\[\forall a \in M, e^{'}\cdot a = a \]

和

\[\forall a \in M, a \cdot e^{''} = a \]

则 $e^{'} = e^{''}$

命题 2.2 暗示了一个单类的 单位元素是唯一的 ，由于每个 群都是一个单类 ，所以 群的单位元素是唯一的 。而且，群中的 每个元素都有唯一的逆。这是一个更普遍的事实的结果:

命题2.2: 在一个存在幺元 $e$ 的独异点 $M$ 中，$\exists a \in M$ 有左逆元 $a^{'}\in M$ 和右逆元 $a^{''} \in M$ ，这意味着

\[a^{'}\cdot a = e \qquad (G3l) \]

和

\[a \cdot a^{''} = e \qquad (G3r) \]

则 $a^{'} = a^{''}$。

定义2.2 : 如果一群 $G$ 有 有限数目 的 $n$ 个元素，我们说 $G$ 是一个 $n$ 阶元素的群。如果 $G$ 是无限的，我们说 $G$ 有无限阶。群的阶通常用 $|G|$ 表示(如果 $G$ 是有限的)。

给定一个群 $G$，对任意的两个子集 $R,S \subseteq G$ ，设

\[RS=\{r\cdot s |r \in R,s\in S \} \]

特别的。$\forall g \in G$, 如果 $R={g}$ ，则

\[gS = \{g\cdot s | s \in S\} \]

同理，如果 $S={g}$, 则

\[Rg= \{r\cdot g | r \in R\} \]

从现在开始，我们将去掉乘法号，将 $g1·g2$ 写成 $g1g2$

定义2.3 设 $G$ 是一个群。对于任意的 $g\in G$，定义 $L_g$, 对于所有$a\in G$，有 $L_g(a) = ga$, 即是 $g$ 的左平移。同理定义了 $R_g$, 对于所有 $a\in G$, 有 $R_g(a) = ag$, 既是 $g$ 的右平移

命题2.3 给定一个群 $G$, 平移 $L_g$ 和 $R_g$ 都是双射

定义2.4 给定一个群 $G$，$G$ 的一个子集 $H$，当且仅当

$(1)$ $G$ 的幺元 $e$ 也属于 $H$ （$e \in H$）
$(2)$ $\forall h_1,h_2 \in H$，则 $h_1h_2\in H$
$(3)$ $\forall h \in H$, 则 $h^{-1} \in H$

则 $H$ 是 $G$ 的子群。

命题2.4 给定一个群 $G$ , $H \subseteq G$且 $H \ne \Phi$，使的 $H$ 是 $G$ 的子群，当且仅当 $\forall h_1, h_2 \in H$ 有 $h_1h_2^{-1} \in H$

如果群 $G$ 是有限的，则可以使用以下准则

命题2.5 给定一个有限群 $G$，$H \subseteq G$，使得 $H$ 是 $G$ 的子群，当且仅当

$(1)$ $e \in H$ (幺元在 $H$ 中)
$(2)$ $H$ 在乘法下是封闭的

例子 2.2

$\forall n \in Z$，集合 $$nZ={nk|k\in Z}$$ 是 $Z$ 的一个子群
矩阵集合 $$GL^{+}(n, R) = {A\in GL(n,R) | det(A) \gt 0}$$ 是群 $GL(n,R)$ 的一个子群。
群 $SL(n, R)$ 是群 $GL(n,R)$ 的子群
群 $O(n)$ 是群 $GL(n, R)$ 的子群
群 $SO(n)$ 是群 $O(n)$ 的子群，也是群 $SL(n, R)$ 的子群
不难看出，每个 $2 \times 2$ 旋转矩阵 $R\in SO(2)$ 可以写成 $$R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, 0 \le \theta \le 2\pi .$$ 通过将矩阵 $$R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$ 视为矩阵 $$Q=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 可以将 $SO(2)$ 视为 $SO(3)$ 的子群。
形如 $$\begin{pmatrix} a & b \ 0 & c \end{pmatrix}, a, b, c \in R, a,c \ne 0$$ 矩阵集合是群 $GL(2, R)$ 的子群。
由四个矩阵 $$\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}$$ 组成的集合 $V$ 是群 $GL(2, R)$ 的子群，称为称为 克莱因四群

定义2.5 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，且 $\forall g \in G$

$G$ 中形如 $gH$ 的集合称为集合 $H$ 的 左陪集；

$G$ 中形如 $Hg$ 的集合称为集合 $H$ 的 右陪集。

在 $H$ 左陪集（或右陪集）中产生了一种等价关系 $\sim$ 定义如下: $$\forall g_1,g_2 \in G, g_1 \sim g_2$$
当且仅当 $$g_1H = g_2H$$ (或者 $g_1 \sim g_2$ 当且仅当 $Hg_1 = Hg_2$) 。显然 $\sim$ 是一个等价关系。

命题2.6 给定一个群 $G$ 和 $G$ 的任意子群 $H$，则有 $$g_1H = g_2H$$ 当且仅当 $\forall g_1, g_2 \in G, g_2^{-1}g_1H = H$

命题2.7 对于任意有限群 $G$ 和 $G$ 的任意子群 $H$, $H$ 的阶 $h$ ($h= |H|$) , $G$ 的阶 $n$ ($n=|G|$)，我们有 $h|n$。

定义2.6 给定有限群 $G$ 和 $G$ 的子群 $H$，如果 $n=|G|$ 和 $h=|H|$，则 $\frac{n}{h}$ 的比值表示为 $(G:H)$ ，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数。

指数 $(G:H)$ 是 $G$ 中 $H$ 的 左(和右)陪集的个数 命题2.7 可以表述为 $$|G|=(G:H)|H|$$

$G$ 中 $H$ 的左集 (一般不是一个群)记作 $G/H$。$G/H$ 的“点”是通过将一个陪集中的所有元素“坍缩”成一个元素而得到的。

例子 2.3

取任意正整数，并考虑 $Z$ 的子群 $nZ$ (在加法下)。$0$ 的陪集是集合 $\{0\}$，任意非零整数 $m \in Z$ 的陪集是 $$m + nZ = {m+nk|k\in Z}。$$ 通过 $m$ 除以 $n$ 我们有 $m=nq+r，0 \le r \le n-1 且 r唯一$ 。然后我们得到 $r$ 是陪集 $m+nZ$ 中最小的正元素。这意味着在 $Z$ 的子群 $nZ$ 的陪集和模 $n$ 的余数集 $\{0, 1, \cdots , n-1\}$ 上存在一个双射，或与 $Z/nZ$ 等价的双射。

通过 $(g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H$ 来定义 左陪集（或 右陪集）上的乘法运算是很有诱惑力的。但是这个运算一般没有很好的定义，除非子群 $H$ 具有一个特殊的性质。上述 例子2.3 中的 $1$ 是可以定义这样的运算。

子群 $H$ 允许在 左陪集 上定义乘法运算的性质是 群同态 核的典型性质

定义2.7 给定两个群 $G$ 和 $G^{'}$ ，函数 $\phi: G \rightarrow G^{'}$ 当且仅当 $$\phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2), \forall g_1, g_2 \in G$$ 称为同态

考虑 $g_1=g_2=e, g_1,g_2\in G$, 我们得到 $$\phi(e) = e^{'}$$ 考虑 $g_1=g, g_2=g^{-1}$, 我们得到 $\phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1}$。

定义2.8 如果 $\phi: G \rightarrow G^{'}$ 是一个 群同态，如果 $H\subseteq G$ 是 $G$ 的一个子群，也是 $G^{'}$ 的子群，称 $$Im H = \phi(H) = {\phi(g)| g \in H}$$ 称为 $H$ 在 $\phi$ 小的像（值域），以及 $G$ 的子群， $$Ker \phi = {g \in G | \phi(g) = e^{'}}$$ 称为 $\phi$ 的核

命题2.8 如果 $\phi: G \rightarrow G^{'}$ 是 群同态，当且仅当 $Ker \phi=\{e\}$ 时， $\phi:G \rightarrow G^{'}$ 是单射

定义2.9 如果有一个群同态 $\psi: G^{'} \rightarrow G$ ，我们称群同态 $\phi:G \rightarrow G^{'}$ 时一个同构。因此 $$\psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}}$$
如果 $\phi$ 是同构的，则称 $G$ 和 $G^{'}$ 是同构的。当 $G^{'} = G$ 时，群同构 称为 自同构。

如果一个 群同态 $\phi:G \rightarrow G^{'}$ 是同构，则 $\psi:G^{'}\rightarrow G$ 满足唯一的条件是 $$\psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}}。$$ 这样的同态表示为 $ϕ^{-1}$

左平移 $L_g$ 和右平移 $R_g$ 是 $G$ 的 自同构

假设 $\phi: G\rightarrow G^{'}$ 时双射同构，设 $\phi^{-1}$ 是 $\phi$ 的逆 (类似与反函数)。 $\forall a, b\in G$ ，我们有 $$\phi(\phi^{-1}(a) \phi^{-1}(b)) = \phi(\phi^{{-1}(a))\phi(\phi}(b))$$ 因此， $$\phi^{{-1}(ab)=\phi}(a)\phi^{-1}(b)$$ 这样就证明了 $\phi^{-1}$ 是同态的。

命题2.9 双射群同态 $\phi:G \rightarrow G^{'}$ 是一个同构。遵守这样的一个性质

\[gH=Hg, \forall g \in G \qquad \qquad \qquad(*) \]

等价于两边乘以 $g^{-1}$ 得到

\[gHg^{-1} = H, \forall g \in G \]

上面的式子等价于

\[gHg^{-1} \subseteq H, \forall g\in G \qquad \qquad \qquad (**) \]

这是因为 $gHg^{-1} \subseteq H$ 意味着 $H \subseteq g^{-1}Hg, \forall g \in G$

命题2.10 设 $\phi: G \rightarrow G^{'}$ 是一个群同态，因为性质$ (*)$, 则 $H = Ker \phi$ 满足性质 $(**)$

定义2.10 设群 $G$ 的子群 $H$ ，$\forall a \in G, aH=Ha$ 则称 $H$ 是 $G$ 的 正规子群

等价定义 对于任意群 $G$ , $G$ 的子群 $N$ 是 $G$ 的 正规子群，当且仅当 $$gNg^{-1}=N, \forall g \in G$$ 记为 $N \triangleleft G$

同态 $\phi:G \rightarrow G^{'}$ 的核 $Ker \phi$ 是 $G$ 的一个正规子群

如果 $G$ 是 交换群 (阿贝尔群)，那么 $G$ 的每个子群都是正规的。

如果 $N$ 是 $G$ 的 正规子群，则由 左陪集 引出的等价关系 $\sim$ (见定义2.5)与由 右陪集 引出的等价关系相同。而且，这个等价关系是同余的。即 $\forall g_1,g_2,g_1^{'}, g_2^{'} \in G$

$(1)$ 如果 $g_1N=g_1^{'}N$ 和 $g_2N=g_2^{'}N$ ，则 $g_1g_2N=g_1^{'}g_2^{'}N$
$(2)$ 如果 $g_1N=g_2N$ ，则 $g_1^{-1}N=g_2^{-1}N$

因此，我们可以通过设 $(g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N$ 在模态的等价类的集合 $G/\sim$ 上定义一个群结构。

定义2.11 设 $G$ 是一个群， $N$ 是 $G$ 的正规子群。通过(左)陪集乘法 $$(g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N, g_1, g_2 \in G$$ 得到的群记为 $G/N$，称为 $N$ 除 $G$ 的商。元素 $g\in G$ 的等价类 $gN$ 也表示为 $\overline{g}$ 或 $[g]$ 。通过 $\pi(g) = \overline{g}=gN$ 给出的映射 $\pi: G \rightarrow G/N$ 是一个群同态，称为 正则投影

由于同态的核是正规子群。所以

命题2.11 给定 群同态 $\phi : G\rightarrow G^{'}$ ，群 $G/Ker \phi$ 和 $Im \phi = \phi(G)$是同构的。（第一同构定理）

定义2.12 给定两个群 $G$ 和 $H$ ，设 $G \times H$ 是 $G$ 和 $H$ 的笛卡尔积，由乘法运算 ($\cdotp$) 通过 $$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1g_2, h_1,h_2)$$

马上就可以证明 $G\times H$ 是一个群，称为 $G$ 和 $H$ 的 直接乘积

类似地，给定任意 $n$ 个群 $G_1, \cdots, G_n$ ，我们可以用类似的方法定义直积 $G_1\times \cdots \times G_n$ 。

如果 $G$ 是一个 交换群，并且 $H_1, \cdots, H_n$ 是 $G$ 的子群，映射 $$a:H_1\times \cdots, \times H_n \rightarrow G$$ 可由 $$a(h_1,h_2,\cdots, h_n)=h_1+h_2+\cdots + h_n$$ 给出，使用 $+$ 来表示群 $G$ 上的运算。这很容易证明 $a$ 是一个群同态，所以，它的像是群 $G$ 的子群，表示为 $\sum_{i=1}^{n}H_i$ 。

命题2.12 给定一个 交换群 $G$ ，如果 $H_1$ 和 $H_2$ 是 $G$ 的任意子群，使 $H_1 \bigcap H_2=\{0\}$，则映射 $$a:H_1 \times H_2 \rightarrow H_1 + H_2$$ 是 同构的 。

在 命题2.12 的条件下，即 $H_1 \bigcap H_2=\{0\}$ ，则群 $H_1 + H_2$ 称为 $H_1$ 与 $H_2$ 的直和; 表示为 $H_1 \oplus H_2$ ，我们有一个同构 $H_1 \times H_2 \cong H1 \oplus H2$

posted @ 2021-10-28 09:16 静谧之裳阅读(583) 评论(0) 编辑收藏举报

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