一元函数积分学的概念与计算

一元函数积分学的概念与计算

目录

• 概念
  • 定积分
    • 概念
    • 定积分存在定理
  • 不定积分
    • 原函数和不定积分
    • 不定积分存在性
  • 变限积分
    • 概念
    • 性质
  • 反常积分
• 计算
  • 基本积分公式
  • 凑微分
  • 换元
  • 分部积分
  • 有理函数积分

概念

• 定积分：黎曼积分$\int_a^bf(x)=\sum$，曲边梯形面积和的极限
• 不定积分：$F'(x)=f(x)$
• 变限积分：$F(x)=\int_a^xf(x)$
• 反常积分

定积分

概念

1. 设函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$上有界
2. 对于区间$[a,b]$任意的一个分割，n个子区间$[x_0,x_1], (x_1,x_2], (x_2,x_3], …, (x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a, x_n=b$
3. 每个子区间内任取$\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$

记$\lambda = \max{\Delta{x_k}}$，若$\mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}}$存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

记为

$$\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x} = \mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}}$$

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

定积分存在定理

定积分存在的一个必要条件是原函数有界，否则给定任意的正数M和区间的最大长度$\lambda$，因为$\xi$是任意取的，而每个$\Delta{x}$的长度已经确定了，所以总是能找到一小段区间，$f(\xi)\Delta{x} > M$。

在保证有界的前提下：

1. 连续函数一定存在定积分
2. 单调函数一定存在定积分
3. 有限个间断点一定存在定积分

可以把这个定理理解为“面积”存在定理，也就是说：

1. 连续函数一定有面积
2. 单调函数一定有面积
3. 有限个间断点的函数，一定也有面积

不定积分

原函数和不定积分

1. $f(x)$定义在区间$I$上
2. 存在可导函数$F(x)$，使得$\forall x \in I, \ F'(x) = f(x)$

记为$\int{f(x)\mathrm{d}x}=F(x)+C$

不定积分存在性

1. $f(x)$连续，则一定存在不定积分
2. 含有一类间断点或无穷间断点的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内没有原函数

第一条的证明方法就是利用定积分，构造函数$F(x)=\sum{sth}$，第二条的证明方法是利用洛必达法则。

变限积分

概念

略

性质

1. 原函数可积，变限积分连续
2. 原函数连续，变限积分可导

反常积分

反常积分通过变限积分定义，而不是通过黎曼积分定义，所以不矛盾。

计算

基本积分公式

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C$$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$$

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$$

$$\int{\tan{\mathrm{d}x}} = -\ln{|\cos{x}|} + C$$

$$\int{\cot{x\mathrm{d}x}} = \ln{|\sin{x}|} + C$$

$$\int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C$$

$$\int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C$$

$$\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C$$

$$\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C$$

$$\int\sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C$$

$$\int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C$$

$$\int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C$$

$$\int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C$$

凑微分

略

换元

• 三角函数代换
• 根代换：$\sqrt{f(x)}=t$
• 倒代换

分部积分

略

有理函数积分

单因式和二重因式

如果您有任何关于文章的建议，欢迎评论或在 GitHub 提 PR

作者：dutrmp19
本文为作者原创，转载请在 文章开头 注明出处：https://www.cnblogs.com/dutrmp19/p/16644132.html
遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议

---