CF1059D Nature Reserve

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题目大意

有N个点，求与y=0相切的，包含这N个点的最小圆的半径

输入输出样例

输入：
2
0 1
1 1
输出
0.625

感觉最多是蓝题难度?
首先无解的情况很简单，如果存在一个点使得它与其他点相对于\(x\)轴不同侧，就无解（显然）。考虑到半径不好直接确定，我们二分一下。然后就是怎么\(check\)的问题了。为了方便，我们假设所有的点都在\(x\)轴上方。
假设此时二分的值为\(mid\)，左右端点分别为\(l,r\)，那么圆心一定在\(y=mid\)这条直线上。对于某个确定的点，因为它能被覆盖，且半径和圆心的纵坐标已知，所以可以确定圆心横坐标的取值区间（如果它到\(y=mid\)的距离超过\(mid\)的话就可以直接让\(check\)返回\(0\)了）。所以我们考虑取所有点对应的取值区间的交集，如果交集非空，就让\(check\)返回\(1\)，缩小\(r\)的范围，否则增大\(l\)的范围。这样就可以了。
虽然题目要求的误差范围是\(10^{-6}\)，但不知道为什么这样写会T：

while((r-l) > 1e-6) {
    mid = (l+r)/2.0;
    if(check(mid)) r = mid;
    else l = mid;
}

于是我就改成了这样：

int t = 0;
while(t++ <= 210) {
    mid = (l+r)/2.0;
    if(check(mid)) r = mid;
    else l = mid;
}

就A了。其中的原因，我无法明白，望诸君指教。
AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const long double EPS = 0.00000001;
const int N = 100000;

int n;

struct Node {
    long long x, y;
}nodes[N+5];

template <typename T>
T Abs(T x) { return x >= 0 ? x : -x; }
template <typename T>
T Max(T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T>
T Min(T x, T y) { return x > y ? y : x; }

double disX(int y, double r) {
    return sqrtl(-1.0*y*y+2.0*r*Abs(y));
}

int check(double x) {
	if(Abs(nodes[1].y)-x > x) return 0;
	if(x-Abs(nodes[1].y) < -x) return 1;
    double l1, r1, l = nodes[1].x-disX(nodes[1].y, x), r = nodes[1].x+disX(nodes[1].y, x);
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    	if(Abs(nodes[i].y)-x > x) return 0;
		if(x-Abs(nodes[i].y) > x) return 1;
        l1 = nodes[i].x-disX(nodes[i].y, x), r1 = nodes[i].x+disX(nodes[i].y, x);
        l = Max(l1, l), r = Min(r1, r);
    }
    return l <= r;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int dir = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%I64d%I64d", &nodes[i].x, &nodes[i].y);
        if(!dir && nodes[i].y != 0) dir = (nodes[i].y > 0 ? 1 : -1);
        if(nodes[i].y != 0)
            if((dir == 1 && nodes[i].y < 0) || (dir == -1 && nodes[i].y > 0)) {
                printf("-1\n");
                return 0;
            }
    }
    double l = 0, r = 1e17, mid = r;
    int t = 0;
    while(t++ <= 210) {
        mid = (l+r)/2.0;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%.8lf\n", mid);
    return 0;
}

给一组数据：

输入：
4
-10000000 1
10000000 1
-10000000 10000000
10000000 10000000

输出：
50000000000000.4921875