生成函数与指数生成函数

普通型生成函数GF：
序列\({a_i}\)的生成函数为\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ix^i\)
常用GF的收敛形式：
1.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}\)，序列\({1}\)的生成函数
2.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{n}{i}x^i=(1+x)^n\)，序列\({\binom{n}{i}}\)的生成函数，就是二项式定理
3.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{n+i-1}{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^n}\)，序列\({\binom{n+i-1}{i}}\)的生成函数，就是广义二项式定理
4.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2}\)，为3中n=2的特殊形式

指数型生成函数EGF：
序列\({a_i}\)的生成函数为\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{a_ix^i}{i!}\)
常用EGF的收敛形式：
1.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x\)，序列\({1}\)的生成函数
2.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
3.\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)