容斥原理及广义容斥（二项式反演）

容斥

就是这么一个公式：

因为本人太弱，不会严谨的数学证明，感性理解一下就是把那些重复的元素去掉就行了。
容斥的套路挺多的，还是要多做题。。。

广义容斥

貌似也叫二项式反演，总共有3种形式，但常用的只有两种：
1.若

\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g(i) \]

那么

\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]

具体到做题中，通常\(f(i)\)代表的是至多选\(i\)个的方案数，\(g(i)\)代表的是恰好选\(i\)个的方案数，那么它们一定满足上面第一个式子（不会证啊)。而且通常是\(f(i)\)好求，那我们就可以把\(g(i)\)给反演出来了
2.若

\[f(k)=\sum\limits_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g(i) \]

那么

\[g(k)=\sum\limits_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f(i) \]

和上面差不多，通常\(f(k)\)代表的是至少选\(k\)个的方案数，\(g(k)\)代表的是恰好选\(k\)个的方案数，那么它们也一定满足\(2\)中的第一个式子。而且通常是\(f(i)\)好求，那我们也就可以把\(g(i)\)给反演出来了
这两个反演的证明就是带入+一个小小的组合恒等式
那两个式子一定要记牢（真的没有找到证明）
广义容斥貌似跟\(dp\)结合的非常多，因为要去求\(f(i)\)嘛