基本算法(02) - 渐近符号

符号O

• O符号，f(n) = O(g(n))，表示f(n)的复杂度最多与g(n)一个数量级，即小于等于。
• 当我们评估一个算法，只能评估出该算法的“时间复杂度”上限的时候，就用O表示。

符号o

o符号，f(n) = o(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级小，即小于。

符号Ω

Ω符号，f(n) = Ω(g(n))，f(n)的复杂度最少与g(n)一个数量级，即大于等于。

• 当我们评估一个算法，只能评估出该算法的“时间复杂度”下限的时候，就用Ω表示。

符号ω

ω符号，f(n) = ω(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级大，即大于。

符号Θ

Θ符号，(n) = Θ(g(n))，表示f(n)的复杂度既大于等于g(n)的复杂度，又小于等于g(n)的复杂度，即于g(n)的复杂度相等。

性质及类比

1. 传递性：
   f(n) = Ө(g(n)) 和 g(n) = Ө(h(n)) => f(n) = Ө(h(n))
   f(n) = O(g(n)) 和 g(n) = O(h(n)) => f(n) = O(h(n))
   f(n) = Ω(g(n)) 和 g(n) = Ω(h(n)) => f(n) = Ω(h(n))
   f(n) = o(g(n)) 和 g(n) = o(h(n)) => f(n) = o(h(n))
   f(n) = ω(g(n)) 和 g(n) = ω(h(n)) => f(n) = ω(h(n))
2. 自反性：
   f(n) = Ө(f(n))
   f(n) = O(f(n))
   f(n) = Ω(f(n))
3. 转置对称性：
   f(n) = Ө(g(n)) 当且仅当 g(n) = Ө(f(n))
   f(n) = O(g(n)) 当且仅当 g(n) = Ω(f(n))
   f(n) = o(g(n)) 当且仅当 g(n) = ω(f(n))
4. 类比：
   可以类比：
   O Ω Θ o ω
   ≤ ≥ = ＜ ＞
   但类比并不是等价于；同时小符号是大符号更为严格的记号，但却没有严格的小θ。