【例】动态规划--最长回文序列问题

问题定义：

设计高效算法，求给定输入字符串的最长回文子序列。例如，给定输入character，算法应该返回carac。算法的运行时间是怎样的？

可以将问题中的回文看作前后缀匹配的问题，因此这个问题属于特殊的前缀动态规划的问题

1. 如何用子问题表示

dp[ i ][ j ]表示A[ i…j ]的最长回文序列

则，总问题==dp[ 0 ][ n-1 ]

分析：

如果A[ 0 ] == A[ n-1 ] , dp[ 0 ][ n-1 ] = 2 + dp[ 1 ][ n-2 ]

如果A[ 0 ] =\= A[ n-1 ], 则A[0]与A[n-1]至少有一个不在最长回文序列中，即：dp[ 0 ][ n-1 ] = max{ dp[ 0 ][ n-2 ] , dp[ 1 ][ n-1 ]}

2. 优化子结构和重叠子问题

3. 递归表达式

 

4. 时间复杂度分析 Θ(n2)