快速幂
首先我们来补充
模意义下运算的一些基本知识
1.定义: 设a=kb+r 则a mod b=r （0<=r<b）
或写作a≡r(mod b)——>数学上的写法 或 a%b=r 均等价
r=a-kb（被除数-除数*商）
例子（1） 5%3=2 5/3=1...2;
（2）-5%3=?(较坑)
解： 根据定义 先算出除数
那么-5/3=-1
由r=a-kb得 r=-5-3*（-1）=-2；
（3）-5%（-3）=？
解（-5）/（-3）=1； 由r=a-kb得 r=-5-（-3）*1=-2
注意：正%正=正 负%正=负 负%负=负
总结：换种说法来说，在摸运算中，决定你答案的符号（即余数的符号），只和“%”符号前那个数有关
取模后答案的符号与“%”符号前面的数的符号有关。
- 模运算的性质
（模运算的优先级与乘法与除法是一样的）
性质一（a+b）mod p=（a mod p + b mod p) mod p
性质二（a*b）mod p=（a mod p）*(b mod p) mod p
由性质一可得 我们在做运算时可以边加边模
例如 给n个数 a1,a2,a3,...,an 要把这n个数加起来再摸p（即计算（a1+a2+a3+...+an）%p）
注意：如果先把n个数加起来的话，可能会出现爆int的情况
所以我们的做法可以是 先立一个ans=0，然后for i=1 to n(伪代码)，我们就可以让ans=（ans+ai）%p
注意：因为第一条性质说，你在做加法运算的时候，中间任意多次的模p，对结果不产生影响。
例：（a+b）mod p也与[a+(b mod p)mod p]是相等的
也就是说，你中间可以做任意多次的模p或不模p，对结果不产生影响。
所以说在做类似的多个数值求和再取模的问题时，可以把ans随时加上一个数再随时模p，这样的运算，我们就把它叫做边加边模。
同理，这种运算在加法，减法以及乘法都是成立的。
即算乘积时亦可用此方法 令ans=1;for 1 to n;ans=(ans*ai)%p;
总结：在做类似题目时，无论是加法，减法，乘法，要边取模边做运算，以防止运算的过程中爆掉int（重要）
小问题：思考如何证明第二条性质
令a=a1p+r1 ; b=b1p+r2
此时a%p=r1；b%p=r2；
（a*b）%p=（a1b1p + a1r2p + b1r1p + r1r2）%p
因为前面三项均为p的倍数 所以最后的结果等于r1r2 % p
同理如果算的为（a%p）*（b%p）%p的话，结果依旧为r1r 2% p
故性质二成立 证毕
下面进入正题
快速幂（目标 给定x,y,p，计算x^y mod p(x,y,p均为小于10^9的整数)）
初步思考可以写出一个伪代码： ans=1；
for i=1 to y; ans=(ans * x)%p
解释一下这段代码 根据所求，我们就先暴力枚举下来然后边乘边模。
找一找问题：
第一点，在ans=（ans * x）%p中，虽然整个过程中都对p取了模，说明了ans是一个小于10^9的数的，
由题意可知 x也是小于10^9的数，所以ans * x会变为一个小于10^18的数，众所周知，int的范围是在（-2）^31到（2^31）-1的，2^31大概在2*10^9左右，所以一乘，ans * x在取模之前是要爆int 的
下面介绍两种解决方法：
- 声明变量时，把所有int的类型开成long long（不推荐，较慢）
- 在ans * x处做一个强制类型转换（3种方法）
方法1：（long long）ans * x % p；
方法2: 1ll * ans * x % p；
1ll代表一个long long类型的1
平常在c++中写一个1其实是一个int类型的1，如果在后面加一个ll的话，它就变成了一个long long类型的1
方法3:同理，也可以写作（0ll+ans）% p；
一个long long类型加上一个int类型，结果应为long long
那为什么不把ans直接开成long long呢
因为两个long long相乘要稍慢于一个long long乘以一个int的，故不推荐直接把ans开成long long
第二点，这段代码的复杂度显然是O（y）的，看一下我们的数据范围，x,y,p均小于等于10^9;
因此在最坏情况下，这个代码运行完成需要10^9次
现在的计算机一秒钟运算的次数大约为 3*10^8到8*10^8这个量级
因此如果设计一个程序想要它 1s跑出来的话，大约是需要保证运算次数小于等于10^8次（因为计算复杂度时没有计算常数，所以需要给常数预留一定的空间）
所以就需要程序跑得更快
那怎么做呢
不妨想一想，O（y）的复杂度核心来自我们暴力枚举x^y，使y个x相乘做了x-1个乘法运算
那换句话说，我们想要让这个算法变快，我们就要设法使做乘法的次数更少，便可以让复杂度变得更少
比如 x^37我们可以写成(x^18）^2 * x，如果我们知道x^18的值,那么我们仅需要两次乘法便可以求出结果，所以问题就变成了如何求x^18，我们又可以用类似方法，将x^18表示为（x^9）^2
过程如下
x^37-->(x^18)^2 * x
x^18-->(x^9)^2
x^9-->(x^4)^2 * x
x^4-->(x^2)^2
x^2-->x * x 总共需要7次乘法，即可算出x^37
这种方法就叫做快速幂，它通过一种折半的思想，不断把更大的问题换成更小的问题的组合
最后附上代码
第一次写博客，还请各位大佬提出自己宝贵的意见（深深感谢）！！！
