[博弈论]取石子游戏

在研究过 Nim 游戏及各种变种之后，Orez 又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的：
有 n 堆石子，将这 n 堆石子摆成一排。
游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。
Orez 问：对于任意给出的一个初始局面，是否存在先手必胜策略。

输入格式
第一行为一个整数 T，表示有 T 组测试数据。
对于每组测试数据，第一行为一个整数 n，表示有 n 堆石子，第二行为 n 个整数 ai ，依次表示每堆石子的数目。

输出格式
对于每组测试数据仅输出一个整数 0 或 1，占一行。
其中 1 表示有先手必胜策略，0 表示没有。

思路：
太难想了
定义 l [ i , j ] 代表在第 [ i , j ] 堆石子的左边放多少石子，先手必败
定义 r [ i , j ] 代表在第 [ i , j ] 堆石子的右边放多少石子，先手必败
因为这两者对称，所以我们先只讨论 l [ i , j ] 的情况。
考虑 l [ i , j ]
一定存在吗？存在，每一步都可以通过递推推出来。
唯一吗？
唯一，反证法：
假设有两个l [ i , j ] 都使先手必败，大的那个转移到小的那个时，必败 ->必败
冲突，大的那个转移成小的那个，则大的那个为必胜态。
所以一定唯一。

假设第i堆到第j堆已经固定了。
? [ i , j - 1] X
X 代表第 j 堆有几个石子。
？即 l [ i , j ]。
定义
在左边放 L 时， L [ i , j - 1] 必败这里的 L 其实就 = l [ i , j -1]
在右边放 R 时，[ i , j - 1] R 必败这里的 R 其实就 = r[ i , j - 1]

分类讨论：
① 如果 X 正好等于 R，则本身就已经必败了，在左边放0个就好了
② 如果 X < L && X < R, 则在左边也放 X 个，两边都是X个，先手拿多少，后手在另一边拿多少，所以肯定是后手拿最后一次。当后手拿最后一次时，另一边肯定已经是0了，而不管最后剩下的是多少，留给后手的局面肯定不是L，也不是R，因为X比这两个都小。留给后手的是不是必败，所以先手必败。
③ 如果 L > R,推出 R < X <= L ，则在最左边放 X - 1 个石子的时候先手必败。
当先手拿右边时，

首先，先手一定不能把右边取到R
若先手把右边取到R，后手把左边取完。则先手必败
如果先手把右边取到x<R时, 后手立即把左边取到和右边相同
–转化为情况②–先手必败
如果先手把右边取到x>R时，后手立即把左边取到x−1
由于右边 >R 则右边x最小取到1 左边x最小取到0
则必然会将右边取到R(情况①)或者R以下(情况②) – 必败

当先手拿左边时，

当先手把左边取到>=R,后手就把右边取到比左边多1保持情况③
当先手把左边取到<R，后手就右边取到和左边相等保持情况②

④ 如果L < R,推出L<=X<R,则在左边放X+1个石子时，先手必败
当先手拿左边时，

如果先手把左边取到>=L+1,则后手就把右边取到>=L,保持情况④
如果先手把左边取到L，则后手把右边取到0
如果先手把左边取到<L，则后手保持左右两边相等，情况②

当先手拿右边时，

当先手把右边取到>=L时，则后手把左边取到比右边多1 保持情况④
当先手把右边取到<L时，则后手保持两边相等，情况②

⑤ 如果 X > R && X > L 时，左边放X个和右边一样多，先手必败
L>R时
先手取完后 >L 后手保证左右两边相同

一旦先手把某一边个数取到(R,L]后手保证左边比右边少一个(情况③)
一旦先手把某一边个数取到[R,L) 后手保证右边比左边多一个
一旦先手把某一边个数取到(,R) 后手保证右边和左边一样多

R>L时
对称
先手取完后>R 后手保证左右两边相同
一旦先手把某一边个数取到(L,R]后手保证右边比左边少一个(情况④)
一旦先手把某一边个数取到[L,R)后手保证左边比右边多一个
一旦先手把某一边个数取到(,L)后手保证右边和左边一样多

区间dp，先枚举长度，后枚举左右端点，大范围依赖小范围，
当长度为1时，l[i][j]=r[i][j]=a[i]==a[j] 在左边放一样多就可以使先手必败

const int N = 1010;
int l[N][N],r[N][N];
int t,n;
int a[N];
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int len = 1;len <= n;len ++){
            for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
                int j = i + len - 1;
                int L = l[i][j-1], R = r[i][j-1], X = a[j];
                if(len == 1) l[i][j] = r[i][j] = a[i];
                else{
                    if(X == R) l[i][j] = 0;//①
                    //②⑤都是X，所以一起写
                    else if(X < L && X < R || X > L && X > R) l[i][j] = X;
                    else if(L > R) l[i][j] = X-1;//③
                    else l[i][j] = X+1;//④
                }
                L = l[i+1][j],R = r[i+1][j],X = a[i];
                if(len == 1) l[i][j] = r[i][j] = a[j];
                else{
                    if(X == L) r[i][j] = 0;
                    else if(X < L && X < R || X > L && X > R) r[i][j] = X;
                    else if(L < R) r[i][j] = X-1;
                    else r[i][j] = X+1;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",l[2][n] != a[1]);
    }
    
    return 0;
}