ABC214 F 题题解 + 记一次失败的比赛

1.前言

一次失败的比赛。首先为了赶时间（其实也就争取了10min左右），我尝试在出租车上打代码，下来差点吐了 $qwq$，然后车上因为晕乎乎的，把 $D$ 和 $F$ 的题意读错了，把 $D$ 取 $max$ 读成了求和（然后还嘲讽出题人只会出换根 $dp$ 板题，并大骂出题人不会出样例，浪费了 $20min$ 左右），$F$ 把不能留下连续的读成了不能删去连续的（然后就放弃 $F$， 撞死在 $E$ 题贪心上）。总之虽然外因很多，但主要原因还是自己太菜了呀~。 不久前已经开始记录自己认为的好题，时不时重做一下吧 （虽然可能会咕）

2.题解

悲伤的回味已经过去了，现在开始进入快乐的题解部分

容易想到 $dp$。

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状态定义：
$dp[i]$: 前 $i$ 个字符中选，必选第 $i$ 个字符，不与 $s1\subseteq s_{[1,i)}$ 重复的满足要求的子序列个数。

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状态转移：

1. $\forall j\in [1,i),s[j]\ne s[i]$

$dp[i]=({\sum }_{k=1}^{i-2}dp[k])+1$

2. $\exists j\in [1,i),s[j]=s[i]$

令 $p=\max j(j\in [1,i),s[j]==s[i])$

则 $dp[i]={\sum }_{k=max(1,p-1)}^{i-2}dp[k]$

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证明：

不重：
反证法：假设会与 $s1$ 重复
1.若 $k\in [p+1,i-2]$
$\because k\in [p-1,i-2],k\ne p$
$\therefore s[k]\ne s[i]$
与 $s1$ 重复，则 $s1$ 最后一位一定为 $s[i]$
矛盾

2.若 $k=p$
$dp[i]$ 表示的序列为 $dp[p]$ 包含的所有序列后加一个 $s[i]$。
则 $s1$ 后加一个 $s[i]$ 与 $dp[p]$ 包含的某序列$(s2)$重复，且 $str$ 是被 $dp[p]$ 包含的一个序列。
那么，$s2$ 的末尾有 $2$ 个以上的 $s[i]$，那么 $p$ 之前的某个位置$(idx)$ 存在一个 $s[i]$。
则 $str$ 与 $dp[idx]$ 包含的序列重复（$idx$ 之前(不含)的一样，$str$ 选择了 $s[i]$，与之重复的序列选择了 $s[idx]$）
矛盾

3.若 $k=p-1$
①若 $s[p-1]=s[i]$，和 $2.$ 的分析方法一样，得出：矛盾。
②若 $s[p-1]\ne s[i]$，$s1$ 的末尾不为 $s[i]$，矛盾。

综上：矛盾

综综上：矛盾，所以不重

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不漏：
$dp[k](k\in [1,p-1))$ 包含的子序列一定会与 $dp[k](k\in [p-1,i-1))$包含的子序列重复，和不重的 $2.$ 分析方法一样

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初始化：
$dp[1]=1$

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时间复杂度

对于每种字符，最多跑完整个序列，所以时间复杂度均摊下来 $O(26n)$

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状态转移写得很清楚，代码比较简单，注意分类就行了。

（为了代码简洁，我将 $dp[0]$ 置为 $1$，实现与状态转移的分类略有不同）

#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define PII pair <int, int>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

template <typename T> void read (T &x) { x = 0; T f = 1;char tem = getchar ();while (tem < '0' || tem > '9') {if (tem == '-') f = -1;tem = getchar ();}while (tem >= '0' && tem <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + tem - '0';tem = getchar ();}x *= f; return; }
template <typename T> void write (T x) { if (x < 0) {x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0'); }
template <typename T> void print (T x, char ch) { write (x); putchar (ch); }
template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return x > 0 ? x : -x; }

const int Maxn = 2 * 1e5;
const LL Mod = 1e9 + 7;

char s[Maxn + 5];
int len; LL dp[Maxn + 5];

int main () {
	scanf ("%s", s + 1);
	len = strlen (s + 1);
	LL res = 1;
	dp[1] = 1; dp[0] = 1;
	for (int i = 2; i <= len; i++) {
		for (int j = i - 1; j >= 1; j--) {
			if (s[i] == s[j] && j - 1 == 0) break;
			dp[i] = (dp[i] + dp[j - 1]) % Mod;
			if (s[i] == s[j]) break;
		}
		res = (res + dp[i]) % Mod;
	}
	printf ("%lld", res);
	return 0;
}