I Love Random
原序列为 a a a,答案序列为 p p p。
令 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示构造了结果序列的前 i i i 位, p [ i ] = a [ j ] p[i] = a[j] p[i]=a[j] 的方案数。
[ L [ i ] , R [ i ] ] [L[i], R[i]] [L[i],R[i]] 是满足 L [ i ] ≤ i ≤ R [ i ] , ∀ j ∈ [ L [ i ] , R [ i ] ] , a [ j ] ≥ a [ i ] L[i] \leq i \leq R[i], \forall j \in [L[i], R[i]], a[j] \geq a[i] L[i]≤i≤R[i],∀j∈[L[i],R[i]],a[j]≥a[i] 的最大区间。
f [ i ] [ j ] = [ L [ j ] ≤ i ≤ R [ j ] ] ∗ ∑ f [ i − 1 ] [ k ] ( k ≤ j ) f[i][j] = [L[j] \leq i \leq R[j]] * \sum f[i - 1][k] (k \leq j) f[i][j]=[L[j]≤i≤R[j]]∗∑f[i−1][k](k≤j)
状态转移分析:
subtask 1
首先解释 k ≤ j k \leq j k≤j
为什么 k > j k > j k>j 没有贡献呢?
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condition 1 k > j ≥ i − 1 k > j \geq i - 1 k>j≥i−1
如果 k ≥ j k \geq j k≥j, 并且 a [ k ] a[k] a[k] 将 p [ i − 1 ] p[i - 1] p[i−1] 修改了,那么说明 ∀ j ∈ [ i − 1 , k ] , p [ j ] ← a [ k ] \forall j \in [i - 1, k], p[j] \leftarrow a[k] ∀j∈[i−1,k],p[j]←a[k],那么操作了 a [ k ] a[k] a[k] 后 p [ j ] p[j] p[j] 肯定是 a [ k ] a[k] a[k],这时候再考虑 p [ i ] ← a [ j ] p[i] \leftarrow a[j] p[i]←a[j] 就不对了。
-
condition 2 k ≥ i − 1 > j k \geq i - 1 > j k≥i−1>j
这种情况下,如果 p [ i − 1 ] ← a [ k ] p[i - 1] \leftarrow a[k] p[i−1]←a[k], p [ i ] ← a [ j ] p[i] \leftarrow a[j] p[i]←a[j],那么修改后的序列和 d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i - 1][j] dp[i−1][j] 所提供的序列重复了,所以只算 d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i - 1][j] dp[i−1][j] 就好了。
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condition 3 i − 1 > k > j i - 1 > k > j i−1>k>j
和 condition 2 一个道理。
subtask 2
再来解释一下方程
这个转移是怎么一个过程呢:
∑ f [ i − 1 ] [ k ] , k ≤ j \sum f[i - 1][k], k \leq j ∑f[i−1][k],k≤j 相当于我们用各种方法把 [ 1 , i − 1 ] [1, i - 1] [1,i−1] 搞成各不相同的样子,然后我们再 p [ i ] ← a [ j ] p[i] \leftarrow a[j] p[i]←a[j]。
再来证明一下正确性
不重:
由于状态定义:首先 d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ k ] ( j ≠ k ) dp[i - 1][j],dp[i - 1][k] (j \neq k) dp[i−1][j],dp[i−1][k](j=k) 中包含的答案状态一定不同(因为 p j [ i − 1 ] = a [ j ] , p k [ i − 1 ] = a [ k ] p_j[i - 1] = a[j], p_k[i - 1] = a[k] pj[i−1]=a[j],pk[i−1]=a[k]);又由于状态定义, d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i - 1][j] dp[i−1][j] 内部的答案状态也一定不同。
不漏:
如果当前 p [ i ] = a [ j ] p[i] = a[j] p[i]=a[j], 那么 p [ i − 1 ] p[i - 1] p[i−1] 的值无非就只有 a [ 1 a[1 a[1 ~ j ] j] j]。其余情况根据 subtask 1,他们一定不满足要求。
参考代码:
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define db double
#define LL long long
#define PII pair <int, int>
#define MP(x,y) make_pair (x, y)
#define rep(i,j,k) for (int i = (j); i <= (k); i++)
#define per(i,j,k) for (int i = (j); i >= (k); i--)
template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return x > 0 ? x : -x; }
template <typename T>
bool read (T &x) {
x = 0; T f = 1;
char ch = getchar ();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar ();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
ch = getchar ();
}
x *= f;
return 1;
}
template <typename T>
void write (T x) {
if (x < 0) {
putchar ('-');
x = -x;
}
if (x < 10) {
putchar (x + '0');
return;
}
write (x / 10);
putchar (x % 10 + '0');
}
template <typename T>
void print (T x, char ch) {
write (x); putchar (ch);
}
const int Maxn = 5 * 1e3;
const LL Mod = 1e9 + 7;
int n;
int a[Maxn + 5], l[Maxn + 5], r[Maxn + 5];
LL dp[2][Maxn + 5], pre[Maxn + 5];
#define add(x,y) ((x += y) >= Mod && (x -= Mod))
signed main () {
// freopen ("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\vscode\\1.in", "r", stdin);
// freopen ("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\vscode\\1.out", "w", stdout);
// freopen ("C.in", "r", stdin);
// freopen ("C.out", "w", stdout);
read (n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
read (a[i]);
a[0] = -1; a[n + 1] = -1;
rep (i, 1, n) {
per (j, i, 0)
if (a[j] < a[i])
{ l[i] = j + 1; break; }
rep (j, i, n + 1)
if (a[j] < a[i])
{ r[i] = j - 1; break; }
}
rep (j, 1, n) {
if (l[j] <= 1 && 1 <= r[j])
dp[1][j] = 1;
else
dp[1][j] = 0;
}
bool f = 0;
rep (i, 2, n) {
memset (pre, 0, sizeof pre);
rep (j, 1, n) {
pre[j] = pre[j - 1];
add (pre[j], dp[f ^ 1][j]);
}
rep (j, 1, n) {
if (l[j] <= i && i <= r[j])
dp[f][j] = pre[j];
else
dp[f][j] = 0;
}
// rep (j, 1, n) {
// printf ("dp[%d][%d] = %lld\n", i, j, dp[f][j]);
// }
f ^= 1;
}
LL res = 0;
rep (i, 1, n)
add (res, dp[n & 1][i]);
write (res);
return 0;
}