「CSP-S 2021 括号序列」题解

考场挂分器，送分题变成送命题。

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一、状态：

令 $dp[i][j]$ 表示 $[i,j]$ 这个区间内组成超级括号序列的方案数

令 $f[i][j]$ 表示在 $dp[i][j]$ 的要求上，添加限制：方案中，括号 $i$, $j$ 匹配。

令 $ans[i][j]$ 表示 $[i,j]$ 这个区间能不能做到 $[l,r]$ 全为 “*”。

令 $check(l,r)=\left[\right[[s[l]=?]\vee [s[l]=\ast ]]\wedge [[s[r]=?]\vee [s[r]=\ast ]\left]\right]$

attention: 这里区间的含义和数学上是一样的，不会是空集。

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二、初始化：

$ans$ 即判断这个区间内是不是全是 “?” 或 “*”。 $dp,f$ 全部设为 $0$。

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三、状态转移：

考虑所有情况，每种情况对应一种转移。

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1. （）

这种情况特判即可。

$$dp[l][r]=f[l][r]=check(l,r)\ast [l+1==r]$$

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2. （S）

这是 $s[l],s[r]$ 已经匹配好了，则 $[l+1,r-1]$ 全为 * 就行了。

$$dp[l][r]=f[l][r]=ans[l+1][r-1]$$

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3. (SA)

我们枚举 S 的最后一个字符的位置。

即统计 $[l+1,i]$ 全为 *，$[i+1,r-1]$ 为超级括号序列的方案数。

$$dp[l][r]=f[l][r]=\sum _{i=l+1}^{i+1\le r-1}ans[l+1][i]\ast dp[i+1][r-1]$$

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4. (AS)

同理 3。

$$dp[l][r]=f[l][r]=\sum _{i=l+1}^{i+1\le r-1}dp[l+1][i]\ast ans[i+1][r-1]$$

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5. AB

我们枚举 A 的最后一个字符的位置。

同理 3，我们可以写出这样的转移

$$dp[l][r]=\sum _{i=l}^{i\le r-1}dp[l][i]\ast dp[i+1][r]$$

但是发现它会算重：

  $e.g.$

    6 10
    ()()()

在这种情况下，因为有 [1, 2] 和 [3, 6]， [1,4] 和 [5, 6] 的两种分裂方法，所以这个序列被重复计算了。为了防止一种满足要求的答案因可以被多个地方裂开而算重，我们可以钦定 A 是一个第一个和最后一个元素匹配的超级括号序列。这样的话，从不同的点分裂，那对应的答案序列一定不一样。（比如两个序列分别从 i, j 分裂，序列 1 s[l] 对应的是 s[i], 而序列 2 s[l] 对应的是 s[j]，所以说这两个序列一定不一样）。

所以方程应该写为

$$dp[l][r]=\sum _{i=l}^{i\le r-1}f[l][i]\ast dp[i+1][r]$$

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6. ASB

同理 5，枚举左端点和右端点匹配的超级括号 A 的最后一位，以及 S 的最后一位。

即统计 $A:[l,i],S:[i+1,j-1],B[j,r]$ 的方案数。

$$dp[l][r]=\sum _{i=l}^{i\le r}\sum _{j=i+2}^{j\le r-1}f[l][i]\ast ans[i+1][j-1]\ast dp[j][r]$$

发现是一个 $O(n^2)$ 的转移，总时间复杂度会变为 $O(n^4)$，考虑优化。

$ans[i+1][j-1]$ 是一个关于 $j$ 的单调不递增函数，而只有当 $ans[i+1][j-1]=1$ 时才可能有贡献，所以不妨考虑找到这个临界点，记作 p，则 $\forall k\in [i+2,p],ans[i+1][k-1]=1$。

将转移式中的公因数提出来。

$$dp[l][r]=\sum _{i=l}^{i\le r}(f[l][i]\ast \sum _{j=i+2}^{j\le p}dp[j][r])$$

发现后面的求和里只与 $j$ 有关，所以可以用一维后缀和进行优化。

令 $fall[i]={\sum }_{j=i}^{j\le r}dp[j][r]$

则式子可以化为

$$dp[l][r]=\sum _{i=l}^{i\le r}(f[l][i]\ast (fall[i+2]-fall[p+1]))$$

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小 Trick: 发现只考虑操作 1 ~ 3 时， $dp[l][r]=f[l][r]$， 所以我们可以在计算了操作 1 ~ 3 对 $dp[l][r]$ 的贡献之后，将它直接赋给 $f[l][r]$。

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参考代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair <int, int>
#define MP(x,y) make_pair (x, y)
#define rep(i,j,k) for (int i = (j); i <= (k); i++)
#define per(i,j,k) for (int i = (j); i >= (k); i--)
#define fi first
#define se second

template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T>
void read (T &x) {
	x = 0; T f = 1;
	char ch = getchar ();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		if (ch == '-') f = -1;
		ch = getchar ();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
		ch = getchar ();
	}
	x *= f;
}
template <typename T>
void write (T x) {
	if (x < 0) {
		x = -x;
		putchar ('-');
	}
	if (x < 10) {
		putchar (x + '0');
		return;
	}
	write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}
template <typename T>
void print (T x, char ch) {
	write (x); putchar (ch);
}

const int Maxn = 500;
const LL Mod = 1e9 + 7;

int n, k;
char s[Maxn + 5];
LL fall[Maxn + 5];
LL dp[Maxn + 5][Maxn + 5], f[Maxn + 5][Maxn + 5];
LL ans[Maxn + 5][Maxn + 5];

bool check (int l, int r) {
	if (s[l] == '(' && s[r] == ')') return 1;
	if (s[l] == '(' && s[r] == '?') return 1;
	if (s[l] == '?' && s[r] == ')') return 1;
	if (s[l] == '?' && s[r] == '?') return 1;
	return 0;
}
void add (LL &x, LL y) {
	x = (x + y % Mod) % Mod;
}

int main () {
	freopen ("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\vscode\\1.in", "r", stdin);
	freopen ("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\vscode\\1.out", "w", stdout);
	read (n); read (k);
	scanf ("%s", s + 1);
	
	for (int l = 1; l <= n; l++)
		for (int r = l; r <= n; r++) {
			if (s[r] != '*' && s[r] != '?') break;
			if (r - l + 1 > k) break;
			ans[l][r] = 1;
		}
	for (int len = 2; len <= n; len++) {
		for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
			int r = l + len - 1;
			
            if (check (l, r)) {
				if (l + 1 == r) add (dp[l][r], 1); // 1
				else add (dp[l][r], dp[l + 1][r - 1] + ans[l + 1][r - 1]); // 2
                for (int i = l + 1; i + 1 <= r - 1; i++) {
					add (dp[l][r], ans[l + 1][i] * dp[i + 1][r - 1]); // 3
					add (dp[l][r], dp[l + 1][i] * ans[i + 1][r - 1]);//4
				}
            }
			f[l][r] = dp[l][r];

			for (int i = l; i + 1 <= r; i++)
				add (dp[l][r], f[l][i] * dp[i + 1][r]);//5
			
			memset (fall, 0, sizeof fall);
			for (int i = r; i >= l; i--) {
				add (fall[i], fall[i + 1] + dp[i][r]);
			}
			int p = 0;
			for (int i = l; i <= r; i++) {
				// /*   O (n ^ 3)
				p = Max (p, i + 1);
				while (ans[i + 1][(p + 1) - 1]) {
					p++;
				}
				add (dp[l][r], f[l][i] * (fall[i + 2] - fall[p + 1]));//6
				// */
				/*      O (n ^ 4)
				for (int j = i + 2; j <= r - 1; j++) {
					//[l, i][i + 1, j - 1][j, r]
					add (dp[l][r], f[l][i] * ans[i + 1][j - 1] * dp[j][r]);
				}
				*/
			}
		}
	}
	write (dp[1][n]);
	return 0;
}