「SCOI2011」飞镖

一、前言

[和谐美好]选择结构题

二、题解

一眼做法，枚举系数，然后解线性方程。

然后就贼[和谐美好]难打。

---

---

先考虑三个飞镖都扔完

第一个 $\{\}$ 里的东西是系数序列，第二个 $\{\}$ 里的东西是自变量上确界序列（下确界都是 $1$）

---

case 1: 只有一种系数，且一定有一个 $2m$。

$\{2m,i,i\}$ $\{1,k,k\}$

---

case 2: 只有两种系数，且一定有一个 $2m$

$\{2m,i,j\}$ $\{1,k,k\}$

---

case 3: 只有两种系数，且一定没有 $2m$

$\{i,2,2\}$ $\{k,k,k\}$
$\{i,i,2\}$ $\{k,k,k\}$

---

case 4: 有三种系数

$\{1,2,3\}$ $\{k,k,k\}$

---

case 5: 一种系数都没有

$\{m,m,m\}$ $\{2,2,2\}$ （第一个变量的系数强制为 $2$）

$\{m,m,m\}$ $\{0,0,0\}$

---

对于 $Case1—3$，我们相当于解一个类似于如下的线性方程。 $$ax+by=c$$

我们可以写出它的通解

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}k\\ y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}k\end{array}$$

ps: $x_0,y_0$ 表示一组满足要求的特殊解。

这时我们相当于要找一组解，满足 $x\in [l_1,r_1],y\in [l_2,r_2]$。

由于只是判断存在性，我们只需要枚举 $x$ 满足要求的最大和最小值，算出对应的 $y$ 的值，判断是否在区间内，然后交换 $x,y$ 和定义域区间，再判断一下，只要有一个满足就说明有解。

对于 $Case4$ 我们只需要满足 $x\in [2,6k]$ 即可。

对于 $Case5$ 我们直接特判

---

---

为了代码简洁，投掷次数不足三次的就多传了一个参（标记是否允许等于零），如果能理清枚举思路的话还好，如果没有理清那么我的代码可能就失去了可读性……

三、参考代码

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,j,k) for (int i = (j); i <= (k); i++)
#define per(i,j,k) for (int i = (j); i >= (k); i--)

template <typename T>
void read (T &x) {
	x = 0;
    T f = 1; char ch = getchar ();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    x *= f;
}
template <typename T, typename... Args>
void read (T &x, Args&... args) {
    read (x); read (args...);
}
template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return (x > 0 ? x : -x); }

LL exgcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL res = exgcd (b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return res;
}

const int Maxn = 3;
const int Maxm = 5;

int t;
LL a[Maxn + 5][Maxm + 5];

LL x[Maxm + 5][Maxm + 5], y[Maxm + 5][Maxm + 5], _gcd[Maxm + 5][Maxm + 5];

bool check (LL Limit, LL k1, LL x1, LL X, bool zero1) {
	if (X % k1) return 0;
    X /= k1;
    LL l, r;
    if (zero1) l = 0;
    else l = x1;
    r = x1 * Limit;
    if (l <= X && X <= r) return 1;
    else return 0;
}
bool judge (LL X, LL Y, LL DX, LL DY, LL num, LL l1, LL r1, LL l2, LL r2) {
	X += DX * num, Y -= DY * num;
	return (l1 <= X && X <= r1) && (l2 <= Y && Y <= r2);
}
bool check (LL Limit, LL k1, LL x1, LL k2, LL x2, LL X, bool zero1, bool zero2) {
	LL l1 = x1, r1 = x1 * Limit, l2 = x2, r2 = x2 * Limit;

    if (zero1) l1 = 0;
    if (zero2) l2 = 0;
	
	if (X % _gcd[k1][k2]) return 0;
	LL f = x[k1][k2] * (X / _gcd[k1][k2]), s = y[k1][k2] * (X / _gcd[k1][k2]);
	LL df = k2, ds = k1;
	
	bool fl = judge (f, s, df, ds, ceil ((l1 - f) * 1.0 / df), l1, r1, l2, r2) | judge (f, s, df, ds, floor ((r1 - f) * 1.0 / df), l1, r1, l2, r2);
	swap (f, s);
	swap (df, ds);
	swap (l1, l2);
	swap (r1, r2);
	fl |= judge (f, s, df, ds, ceil ((l1 - f) * 1.0 / df), l1, r1, l2, r2) | judge (f, s, df, ds, floor ((r1 - f) * 1.0 / df), l1, r1, l2, r2);
	return fl;
}
bool check_three (LL Limit, LL x) {
	return 2 <= x && x <= 2 * Limit + 3 * Limit + Limit;
}

signed main () {
    read (t);
    rep (i, 1, 3)
        rep (j, 1, 5)
            read (a[i][j]);
    
    rep (i, 1, 3)
        rep (j, 1, 3)
            _gcd[i][j] = exgcd (i, j, x[i][j], y[i][j]);

	int cnt = 0;
    rep (step, 1, t) {
        LL k = a[1][5], m = a[2][5], x = a[3][5];
        rep (i, 1, 3) a[i][5] = ((a[i][1] * a[i][5] % a[i][4] * a[i][5] % a[i][4] + a[i][2] * a[i][5] % a[i][4] + a[i][3]) % a[i][4]) + 20;
        
        bool fl = 0;

        rep (i, 1, 3) {
            if (check (k, i, 2, x - 2 * m, 1)) fl = 1;
            if (check (k, i, 1, x - 2 * m - m, 1)) fl = 1;
            if (check (k, i, 1, x - 2 * m - 2 * m, 1)) fl = 1;
        }
        rep (i, 1, 3)
            rep (j, 1, 3) {
                if (check (k, i, 1, j, 1, x - 2 * m, 1, 1)) fl = 1;
            }
        
        rep (i, 1, 3) {
        	if (check (k, i, 1, 2, 2, x, 1, 0)) fl = 1;
        	if (check (k, i, 2, 2, 1, x, 1, 0)) fl = 1;

        	if (check (k, i, 1, 2, 1, x - m, 1, 0)) fl = 1;
        	if (check (k, i, 1, 2, 1, x - 2 * m, 1, 1)) fl = 1;
		}
        
		if (check_three (k, x)) fl = 1;

        if (((2 <= x / m && x / m <= 6) || (x / m == 0)) && x % m == 0) fl = 1;
			
		cnt += fl;
    }
    
    cout << cnt;
    return 0;
}

讲道理，真的卡常 （虽然只是我的[和谐美好]做法）