Number Challenge

引理 $1$：
$$d(i\cdot j)=\sum _{x\mid i}\sum _{y\mid j}[\gcd (x,y)=1]$$

证明：

一对满足要求的 $x,y$ 可以构造出 $x\frac{j}{y}$ 作为 $ij$ 的因数。

考虑 $ij$ 的质因子 $p$。

$\gcd (x,y)=1$ 表示都在 $j$ 里取出 $p$ 这个因子，只有在 $j$ 的 $p$ 这个因子被取空后才能拿 $i$ 里的 $p$ 这个因子，所以不会出现类似于从 $i$ 里取出一个 $p$ 再从 $j$ 取出一个 $p$ 和从 $j$ 里取出两个 $p$ 这两种等价方案都算了一次的情况。

引理 $2$:

$d(i\cdot j\cdot k)={\sum }_{x\mid i}{\sum }_{y\mid j}{\sum }_{z\mid k}[gcd(x,y)=gcd(y,z)=gcd(x,z)=1]$

证明：类似于引理 $1$。

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化式子

$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^{c}d(i\cdot j\cdot k)\\ \sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^c\sum _{u\mid i}\sum _{v\mid j}\sum _{w\mid k}[gcd(u,v)=gcd(u,w)=gcd(v,w)=1]\\ \sum _{u=1}^a\sum _{v=1}^b\sum _{w=1}^c\lfloor \frac{a}{u}\rfloor \lfloor \frac{b}{v}\rfloor \lfloor \frac{c}{w}\rfloor [gcd(u,v)=gcd(u,w)=gcd(v,w)=1]\\ \sum _{u=1}^a\sum _{v=1}^b\sum _{w=1}^c\lfloor \frac{a}{u}\rfloor \lfloor \frac{b}{v}\rfloor \lfloor \frac{c}{w}\rfloor \sum _{d\mid gcd(u,v)}\mu (d)[gcd(u,w)=gcd(v,w)=1]\\ \sum _{u=1}^a\sum _{v=1}^b\sum _{w=1}^c\lfloor \frac{a}{u}\rfloor \lfloor \frac{b}{v}\rfloor \lfloor \frac{c}{w}\rfloor \sum _{d\mid u,d\mid v}\mu (d)[gcd(u,w)=gcd(v,w)=1]\\ \sum _d\mu (d)\sum _{u=1}^{\lfloor \frac{a}{d}\rfloor }\sum _{v=1}^{\lfloor \frac{b}{d}\rfloor }\sum _{w=1}^c\lfloor \frac{a}{ud}\rfloor \lfloor \frac{b}{vd}\rfloor \lfloor \frac{c}{w}\rfloor [gcd(ud,w)=gcd(vd,w)=1]\\ \sum _d\mu (d)\sum _{w=1}^c\lfloor \frac{c}{w}\rfloor \sum _{u=1}^{\lfloor \frac{a}{d}\rfloor }\lfloor \frac{a}{ud}\rfloor [gcd(ud,w)=1]\sum _{v=1}^{\lfloor \frac{b}{d}\rfloor }\lfloor \frac{b}{vd}\rfloor [gcd(vd,w)=1]\end{array}$$

令
$$qry1(d,w)=\sum _{u=1}^{\lfloor \frac{a}{d}\rfloor }\lfloor \frac{a}{ud}\rfloor [gcd(ud,w)=1]，qry2(d,w)=\sum _{v=1}^{\lfloor \frac{b}{d}\rfloor }\lfloor \frac{b}{vd}\rfloor [gcd(vd,w)=1]$$
直接暴力求 $qry1,qry2$ 的时间复杂度为 $O(n^{\frac{5}{2}})$ (令 $a,b,c,n$ 同阶)

证明：

当 $d\le \sqrt{a}$ 时，$1\le w,u\le a$，这部分时间复杂度为 $O(n^{\frac{5}{2}})$

当 $d>\sqrt{a}$ 时，$1\le w\le a,1\le \lfloor \frac{a}{d}\rfloor \le sqrt(a)$，这部分时间复杂度为 $O(n^{\frac{5}{2}})$。

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又是推错的一些没用的式子
$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^{c}d(ijk)\\ \sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^c\sum _{d\mid ijk}1\\ \sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _d\sum _{k=1,d\mid ijk}^{c}1\\ \sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _d\lfloor \frac{c}{\frac{d}{\gcd (d,ij)}}\rfloor \\ \sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _d\lfloor \frac{c\cdot \gcd (d,ij)}{d}\rfloor \\ \sum _{i=1}^a\sum _g\sum _d\lfloor \frac{c\cdot g}{d}\rfloor \sum _{j=1}^b[\gcd (d,ij)=g]\\ \sum _{i=1}^a\sum _g\sum _d\lfloor \frac{c\cdot g}{d}\rfloor \sum _{j=1}^b[\gcd (\frac{d}{g},\frac{ij}{g})=1]\\ \sum _g\sum _d\lfloor \frac{c\cdot g}{d}\rfloor \sum _t\sum _{i=1,i\mid t}^a[\gcd (\frac{d}{g},\frac{t}{g})=1]\end{array}$$