「Namori Grundy」题解
1.前言
最开始想复杂了，听 lydd 说不算很难后又重新审视了一下自己的思路，确实想复杂了hh。
2.题解
首先，非环上的点的值是能确定的。（我就是这里想复杂了，认为叶子节点可以取任何值）
归纳法。
假设所有的子节点都是确定的，那么这个节点的值一定是子节点值集合的 \(mex\) (\(mex\)：最小的不属于集合的自然数)。
归纳到叶子，叶子的值一定为0，是一个确定值。
得证。
现在考虑环上的点。
记环上的点 \(i\) 的在环上的儿子编号为 \(Son_i\)
我们先让环上的点不考虑 \(Son_i\) 。那么现在得到了一个值，记作 \(b_i\) 。
现在有两种情况
①全部 b 值都相同
那么
如果 \(Son_i\) 为 \(b_i\)，则 \(i\) 不为 \(b_i\)
如果 \(Son_i\) 不为 \(b_i\)，则 \(i\) 为 \(b_i\)。
所以这样的环只有两种状态，任意选一个点 \(s\)，枚举这个点是 \(b_i\) 还是不是 \(b_i\)。
容易得到：奇环一定无解，偶环一定有解。
②有 b 值不相同
那么一定存在一个点，他的儿子的 \(b\) 值大于他的 \(b\) 值（反证法：不可能出现 \(b_1 < b_2 < b_3 ... < b_n < b_1\)），所以这个点不会受他的儿子的影响（即对于任何点 \(b_i \leq a_i\)，因为你给一个点多加了一个儿子，那么他的 \(mex\) 只会增加）。
以这个点 (\(a_i = b_i\)) 跑一遍，判断满不满足要求就行了。
容易得到：这种情况一定有解（当然你也可以像我这个 \(sb\) 一样去跑一遍）。
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
template <typename T> void read (T &x) { x = 0; T f = 1;char tem = getchar ();while (tem < '0' || tem > '9') {if (tem == '-') f = -1;tem = getchar ();}while (tem >= '0' && tem <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + tem - '0';tem = getchar ();}x *= f; return; }
template <typename T> void write (T x) { if (x < 0) {x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0'); }
template <typename T> void print (T x, char ch) { write (x); putchar (ch); }
template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return x > 0 ? x : -x; }
const int Maxn = 2 * 1e5;
int n;
vector <int> g[Maxn + 5];
void add (int x, int y) {
g[x].push_back (y);
// cout << x << " " << y << endl;
}
struct UFS {
int fa[Maxn + 5];
UFS () {
for (int i = 1; i <= Maxn; i++)
fa[i] = i;
}
int FindSet (int x) {
if (fa[x] != x)
fa[x] = FindSet(fa[x]);
return fa[x];
}
void UnionSet (int x, int y) {
int u = FindSet (x), v = FindSet (y);
if (u == v)
return;
fa[u] = v;
}
}st;
deque <int> block;
bool vis[Maxn + 5];
int fa[Maxn + 5];
void Tarjan (int u) {
vis[u] = 1;
for (auto v : g[u]) {
if (vis[v] == 0) {
fa[v] = u;
Tarjan (v);
}
else if (block.size () == 0) {
if (u == v) {
block.push_back (u);
continue;
}
int p = u; fa[v] = u;
block.push_back (p);
do {
p = fa[p];
block.push_back (p);
} while (p != v);
}
}
}
int dp[Maxn + 5];
bool flag[Maxn + 5];
bool cmp (int x, int y) {
return dp[x] < dp[y];
}
void Tree (int u) {
for (auto v : g[u]) {
if (flag[v]) continue;
Tree (v);
}
sort (g[u].begin (), g[u].end (), cmp);
int Up = 0;
for (auto v : g[u]) {
if (flag[v]) continue;
if (dp[v] == Up)
Up++;
else if (dp[v] > Up)
break;
}
dp[u] = Up;
}
bool solve () {
Tarjan (st.FindSet (1));
for (auto u : block)
flag[u] = 1;
for (auto u : block)
Tree (u);
#define md(x,y) (x < 0 ? x + y : x)
int s = -1, len = block.size ();
for (int i = 0; i < len; i++) {
if (dp[block[md (i - 1, len)]] > dp[block[i]])
{ s = block[i]; break; }
}
if (s == -1)
return (block.size () & 1) ^ 1;
/* 情况2的判法1
else
return 1;
*/
// /* 情况2的判法2
while (block.front () != s)
{ block.push_back (block.front ()); block.pop_front (); }
for (int i = 1; i < len; i++) {
int u = block[i];
int Up = 0;
sort (g[u].begin (), g[u].end (), cmp);
for (auto v : g[u]) {
if (dp[v] == Up)
Up++;
else if (dp[v] > Up)
break;
}
dp[u] = Up;
}
int Up = 0;
sort (g[s].begin (), g[s].end (), cmp);
for (auto v : g[s]) {
if (dp[v] == Up)
Up++;
else if (dp[v] > Up)
break;
}
return Up == dp[s];
// */
}
int main () {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x; cin >> x;
add (x, i);
st.UnionSet (i, x);
}
cout << (solve () ? "POSSIBLE" : "IMPOSSIBLE");
return 0;
}
