「快餐店」 题解

题面

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法一：基环树常规dp

和基环树直径一样分两种情况：

①：这个点选在树内

则找到这个树的根到最远的点（非树内）的距离，和根到最远的点（树内）的距离，两个加起来除以二就是答案。

②：这个点选在环上

由于是环，不是很好做，所以破环成链，然后考虑这个点选择 \([l, r]\) 中 \((r = l + len - 1)\) (\(len\):环的长度)，容易知道 [最远的距离/选在i点] 的图像是一个单峰函数，所以只需找到第一个 最远点在 \([l, pos]\) 到 \(pos\) 的距离 > 最远点在 \([pos + 1, r]\) 到 \(pos\) 的距离。由于 \([l, r] \rightarrow [l + 1, r + 1]\) 只会使 最远点在 \([l, pos]\) 到 \(pos\) 的距离减小，最远点在 \([pos + 1, r]\) 到 \(pos\) 的距离增大，所以这是一个单调函数，因此我们可以用双指针的做法。

具体操作：

pos : 0
for l : 1 ~ len
	r : l + len - 1
	while dis (l, pos) < dis (pos + 1, r)
		pos++
	res = min (res, dis (l, pos - 1) + dis (pos, r) >> 1)

但是这个细节太多了， 所以我写了一会后放弃了，现在拿出来口胡，所以介绍另一种更漂亮的做法。

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法二：结论

答案就是基环树的直径除以 \(2\).（相当于选在直径的中点）

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首先证明如果选在直径的中点，那么最远的距离就是直径除以 \(2\)。

反证法：

如果最远的距离不是直径除以 \(2\)，那么说明有一个点到选择的点的距离大于直径除以 \(2\)

如图，蓝线是直径，绿线是最远的距离

那么，直径就会是红色的这条线，与蓝线是直径矛盾。

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现在来证明这是最优解。

反证法：假设这不是最优解

假设红线是最优解，那么由于图联通，所以选的点到蓝线一定有一条路径。

所以绿色路径大于红色路径路径的一半 \((直径 / 2 + \Delta > 非直径 / 2) (0 \leq \Delta)\)，矛盾。

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所以求出基环树的直径后，除以 \(2\) 就是答案

代码就咕了，因为求基环树的直径我写丑了。ee