石子合并+区间dp初感悟
感悟
感觉区间dp和线性dp差别不大,区间dp和线性dp的差别应该是在求解的顺序有所改变,以石子合并为例
题目描述
设有N堆石子排成一排,其编号为1,2,3,…,N,每堆石子有一定的质量,可以用一
个整数来描述,现在要将这N堆石子合并成为一堆,每次只能合并相邻的两堆,合并的
代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时
由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。
例如有4堆石子分别为1 3 5 2
我们可以先合并1、2堆,代价为4,得到4 5 2,
又合并1,2堆,代价为9,得到9 2,再合并得到11,总代价为4+9+11=24;
如果第二步是先合并2,3堆,则代价为7,得到4 7
最后一次合并代价为11,总代价为4+7+11=22。
问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。
分析
f[i][j]表示将i~j堆石子合并起来的最小代价
那么我们只需想i ~ j堆石子的合并是怎么得到的
i ~ j堆石子的合并,必将由 i ~ k堆石子合并后与 k + 1 ~ j堆石子合并后
再合并而得到(i <= k <= j - 1)
得出状态转移方程:
前提:i <= k <= j - 1;
p1 = pre[k] - pre[i - 1];
p2 = pre[j] - pre[k];
f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + p1 + p2)
重头戏来了
我们的循环顺序是什么???
这个???
for(int i = 1; i <= n; i++)//枚举左端点
for(int j = i + 1; j <= n; j++)//枚举右端点
for(int k = i; k <= j - 1; k++)//枚举“断”点
很容易发现:在计算f[i][j]这个状态时,它的“源头”可能是还没有计算出来的。
不妨手算一下
1.
p1 = pre[1] - pre[0]
p2 = pre[2] - pre[1]
f[1][2] = min(f[1][1] + f[2][2] + p1 + p2)
2.
p1 = pre[1] - pre[0]
p2 = pre[3] - pre[1]
f[1][3] = min(f[1][1] + f[2][3] + p1 + p2)
3.
...
我们通过观察,会发现一个重要的事情:
当我们求f[1][3]时,我们将用到f[2][3],而我们此时并没有求出f[2][3]
所以状态转移的顺序是有问题
正确的顺序是这样的
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
pre[i] = pre[i - 1] + a[i];//求出前缀和
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {//枚举左端点和右端点的距离
for(int j = 1; j <= n - i; j++) {//枚举左端点的位置
int l = j, r = j + i;//左右端点
f[i][j] = INF;//初始化
for(int k = l; k <= r; k++) {//枚举"断点"
int p1 = pre[k] - pre[l - 1];//l ~ k堆石子合并后的石子数量
int p2 = pre[r] - pre[k];//k + 1 ~ r堆石子合并后的石子数量
f[l][r] = Min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + p1 + p2);
}
}
}
代码高亮
#include <cstdio>
const int MAXN = 305;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[MAXN], pre[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];
//f[i][j]表示将i~j堆石子合并起来的最小代价
int Min(int x, int y) {return x < y ? x : y;}
int main() {
scanf("%d", &n);
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
pre[i] = pre[i - 1] + a[i];//求出前缀和
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {//枚举左端点和右端点的距离
for(int j = 1; j <= n - i; j++) {//枚举左端点的位置
int l = j, r = j + i;//左右端点
f[i][j] = INF;//初始化
for(int k = l; k <= r; k++) {//枚举"断点"
int p1 = pre[k] - pre[l - 1];//l ~ k堆石子合并后的石子数量
int p2 = pre[r] - pre[k];//k + 1 ~ r堆石子合并后的石子数量
f[l][r] = Min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + p1 + p2);
}
}
}
printf("%d", f[1][n]);
return 0;
}