【NOIP2018普及组】摆渡车 题解

题面

1.前言

我记得这是上上上…(此处省略多个“上”字) 次考试的题了，结果我思路想到了，但是没打出来(因为我脑子what了，只用一个变量去完成人家两个数组完成的事，代码十分麻烦，细节也多)，这次又双叒花了很长时间去debug。
我爱死这个摆渡车了，以后我出去都坐摆渡车

2.分析

状态: dp[i]表示在i这个时刻，车在人大附中，最小的等车时间和
易得 状态转移方程为：
$$dp[i]=min(dp[j]+[j,i]时刻之间的等车时间和)(0<=j<i)$$

时间复杂度: $O(n\ast n\ast n)$

伪代码

for (i: 1 ~ n) {
	for (j: 1 ~ i - 1) {
		int cnt = 0;
		for (k: j ~ i) {
			cnt += k时刻到来的人所需等待的时间 
		}
		dp[i] = min (dp[i], dp[j] + cnt);
	}
}

ATTENTION: 最终的答案不在 $dp[max(t[i])]$ 里，因为将时间第二大的人送走后返回到人大附中的时间是 $第二大的时间+m$ ，所以答案应该为

$$min(dp[i])(max(t[j])<=i<max(t[j])+m)$$

3.优化

1.我们先分析车，车的停留时间是不会超过m的（因为Ta可以在相同的状态下多跑一趟，这肯定比少跑一趟的结果优）

2.我们能不能用更快的时间去计算出[j, i]时刻之间的等车时间和呢？答案是可以的，我们可以用一个前缀和数组来实现，具体操作见下

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf ("%lld", &a[i]);
    r = Max (r, a[i]);
    prenum[a[i]]++; pret[a[i]] += a[i];
}
for (int i = 1; i < r + m; i++) prenum[i] += prenum[i - 1], pret[i] += pret[i - 1];

(prenum[i] - prenum[j]) * i - (pret[i] - pret[j])即为[j, i]时刻之间的等车时间和

4.代码

#include <cstdio>
#define LL long long

const int MAXN = 505;
const int MAXT = 5 * 1e6 + 5;

int n, m;

LL r;
LL a[MAXN], prenum[MAXT], pret[MAXT], dp[MAXT];

LL Max (LL x, LL y) { return x > y ? x : y; }
LL Min (LL x, LL y) { return x < y ? x : y; }

int main () {
    scanf ("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf ("%lld", &a[i]);
        r = Max (r, a[i]);
        prenum[a[i]]++; pret[a[i]] += a[i];
    }
    
    if (m == 1) {
        printf ("0");
        return 0;
    }
    
    for (int i = 1; i < r + m; i++) prenum[i] += prenum[i - 1], pret[i] += pret[i - 1];
    
    for (int i = 1; i < r + m; i++) {
        dp[i] = i * prenum[i] - pret[i];
        for (int j = Max (i - m * 2 + 1, 0); j <= i - m; j++) {
            dp[i] = Min (dp[i], dp[j] + (prenum[i] - prenum[j]) * i - (pret[i] - pret[j]));
        }
    }
    LL ans = 0x7f7f7f7f7f7f7f;
    for (int i = r; i < r + m; i++) ans = Min (ans, dp[i]);
    printf ("%lld", ans);
    return 0;
}

注：我这个代码用C++(NOI)提交， 就算 不择手段的 优化，Ta也过不了，若诸位大佬有更好的算法，请不吝赐教。 orz