整除+模运算

一.整除

  1.定义：

      $a,b,q\in Z$, $a\ne 0$, $aq=b$
　　　　$\iff$ $a\mid b$

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  2.性质

      (1). $a\mid b$，$b\mid c$
　　　　$\Rightarrow$ $a\mid c$

      (2).
　　　　$a\mid b$，$a\mid c$，$x,y\in z$
　　　　$\Rightarrow$ $a\mid (bx+cy)$

      (3).
　　　　若$m\ne 0$
　　　　则$a\mid b$ $\iff$ $ma\mid mb$

      (4).
　　　　$x,y\in Z$，$ax+by=1$，$a,b\mid n$
　　　　$\Rightarrow$ $ab\mid n$

        证明：
　　　　$ax+by=1$
　　　　$\Rightarrow$ $\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=\frac{1}{ab}$
　　　　$\Rightarrow$ $\frac{b}{a}x+\frac{n}{a}y=\frac{n}{ab}$
　　　　又$\because a\mid n,b\mid n$
　　　　$\Rightarrow$ $\frac{n}{b},\frac{n}{a}$ $\in Z$
　　　　又$\because x,y\in Z$
　　　　$\therefore \frac{n}{b}x+\frac{n}{a}y=\frac{n}{ab}\in Z$
　　　　$\therefore ab\mid n$

      (5).
　　　　若$b=q\times d+c$，$q\in Z$
　　　　$d\mid c$ $\iff$ $d\mid b$

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2.模运算

  1.性质

      (0):
　　　　$(a+kb)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
　　　　证明：
　　　　　若a < b
　　　　　　将$a$视为余数，$k$视为商，$b$视为除数
　　　　　　则$(a+kb)$可被视为是被除数
　　　　　　$被除数÷除数=商......余数$
　　　　　　$\therefore 被除数\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}商=余数$
　　　　　　$\therefore (a+kb)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a$
　　　　　若a >= b
　　　　　　令 $a\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
　　　　　　则$左边=(m+(k+\frac{(a-m)}{b})b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
　　　　　　由a < b的情况得 $左边=m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
　　　　　综上所述：$左边=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
　　　　　即证

      (1):
　　　　$(a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$
　　　　证明：
　　　　　$令a=k_{1}c+m_1,b=k_{2}c+m_2$
　　　　　
　　　　　

$\{\begin{array}{l}左边=(k_{1}c+m_1+k_{2}c+m_2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\\ 右边=[(k_{1}c+m_1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c+(k_{2}c+m_2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\end{array}$

　　　　　
　　　　　

$\{\begin{array}{l}左边=(m_1+m_2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\\ 右边=[(m_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)+(m_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c]\end{array}$

　　　　　
　　　　　

$\{\begin{array}{l}左边=(m_1+m_2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\\ 右边=(m_1+m_2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\end{array}$

      (2):
　　　　$(a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c-b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$

      (3):
　　　　$(a\ast b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\ast b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$

      (4):
　　　　$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c{)}^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$

      (5)
　　　　$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=c$，$d\ne 0$
　　　　$\Rightarrow$ $ad\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}bd=cd$

      (6)
　　　　$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=c$，$d\mid a$，$d\mid b$
　　　　$\Rightarrow$$\frac{a}{d}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{d}=\frac{c}{d}$

      (7)
　　　　$\frac{a}{b}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=\frac{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}bc}{b}$