一些有用的数学结论(持续更新)
1.染色问题
(1).环染色问题
①公式： f ( m ) = ( − 1 ) m ∗ ( n − 1 ) + ( n − 1 ) m f(m)=(-1)^m*(n-1)+(n-1)^m f(m)=(−1)m∗(n−1)+(n−1)m
②证明：
2.矩阵
(1).邻接矩阵的幂
邻接矩阵的 i i i次方后的 a ( u , v ) a(u, v) a(u,v) 表示 u u u 在走了 i + 1 i + 1 i+1步后走到 v v v的方案总数（钛变态了）
证明
c
[
i
]
[
j
]
c[i][j]
c[i][j]
=
=
=
Σ
a
[
i
]
[
k
]
∗
b
[
k
]
[
j
]
(
j
≤
i
)
\Sigma a[i][k] * b[k][j] (j \leq i)
Σa[i][k]∗b[k][j](j≤i)
而
a
[
i
]
[
k
]
a[i][k]
a[i][k] 表示
i
i
i 到
k
k
k 的方案总数，
b
[
k
]
[
j
]
b[k][j]
b[k][j] 表示
k
k
k 到
j
j
j 的方案总数
所以根据乘法原理即证。
(2).矩阵幂的和
(3).矩阵乘法代替图形变换
3.代数变换(消元降次)
(1).均值不等式
(2).错位相消经典题型
①
∑
i
=
1
n
i
∗
(
i
+
1
)
\sum_{i = 1}^n i*(i+1)
∑i=1ni∗(i+1)
=
∑
i
=
1
n
i
∗
(
i
+
1
)
∗
[
i
+
2
−
(
i
−
1
)
]
i
+
2
−
(
i
−
1
)
=\sum_{i = 1}^n \frac{i *(i + 1) * [i + 2 - (i - 1)]}{i + 2 - (i - 1)}
=∑i=1ni+2−(i−1)i∗(i+1)∗[i+2−(i−1)]
=
∑
i
=
1
n
[
i
∗
(
i
+
1
)
∗
(
i
+
2
)
−
(
i
−
1
)
∗
i
∗
(
i
+
1
)
]
3
=\sum_{i = 1}^n \frac{[i * (i + 1) * (i + 2) - (i - 1) * i * (i + 1)]}{3}
=∑i=1n3[i∗(i+1)∗(i+2)−(i−1)∗i∗(i+1)]
∵
\because
∵ 错位相消
=
n
∗
(
n
+
1
)
∗
(
n
+
2
)
3
=\frac{n * (n + 1) * (n + 2)}{3}
=3n∗(n+1)∗(n+2)
4.模拟退火相关常量
const double q = 0.996;
// 温度变动量
srand (998244353);
for (int i = 1; i <= 1000; i++)
srand (rand ());
//种子初值
delta = ans1 - ans2;
if (exp (-delta / t) * RAND_MAX > rand ())
//选择概率
double cx = now.x + ((rand() << 1) - RAND_MAX) * t;
//下一个随机点
5.计算几何
(1).知三角形三点坐标求面积
Ⅰ
∣
(
y
j
−
y
i
)
⋅
(
x
k
−
x
i
)
−
(
y
k
−
y
i
)
⋅
(
x
j
−
x
i
)
∣
|(y_j-y_i)\cdot(x_k-x_i)-(y_k-y_i)\cdot(x_j-x_i)|
∣(yj−yi)⋅(xk−xi)−(yk−yi)⋅(xj−xi)∣
纵切法证明
Ⅱ 海伦公式
p = a + b + c 2 p = \frac{a+b+c}{2} p=2a+b+c
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} S=p(p−a)(p−b)(p−c)
