一些有用的数学结论(持续更新)

1.染色问题

(1).环染色问题

①公式：

\(f(m)=(-1)^m*(n-1)+(n-1)^m\)

②证明：

2.矩阵

(1).邻接矩阵的幂

邻接矩阵的\(i\)次方后的 \(a(u, v)\) 表示 \(u\) 在走了\(i + 1\)步后走到 \(v\)的方案总数（钛变态了）

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证明
\(c[i][j]\) \(=\) \(\Sigma a[i][k] * b[k][j] (j \leq i)\)
而 \(a[i][k]\) 表示 \(i\) 到 \(k\) 的方案总数，\(b[k][j]\) 表示 \(k\) 到 \(j\) 的方案总数
所以根据乘法原理即证。

(2).矩阵幂的和

(3).矩阵乘法代替图形变换

3.代数变换(消元降次)

(1).均值不等式

(2).错位相消经典题型

①

\(\sum_{i = 1}^n i*(i+1)\)
\(=\sum_{i = 1}^n \frac{i *(i + 1) * [i + 2 - (i - 1)]}{i + 2 - (i - 1)}\)
\(=\sum_{i = 1}^n \frac{[i * (i + 1) * (i + 2) - (i - 1) * i * (i + 1)]}{3}\)
\(\because\) 错位相消
\(=\frac{n * (n + 1) * (n + 2)}{3}\)

4.模拟退火相关常量

const double q = 0.996;
// 温度变动量

srand (998244353);
for (int i = 1; i <= 1000; i++)
	srand (rand ());
//种子初值

delta = ans1 - ans2;
if (exp (-delta / t) * RAND_MAX > rand ())
//选择概率

double cx = now.x + ((rand() << 1) - RAND_MAX) * t; 
//下一个随机点

5.计算几何

(1).知三角形三点坐标求面积

Ⅰ

\(|(y_j-y_i)\cdot(x_k-x_i)-(y_k-y_i)\cdot(x_j-x_i)|\)
纵切法证明

Ⅱ 海伦公式

\(p = \frac{a+b+c}{2}\)

\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)