一些有用的数学结论(持续更新)

1.染色问题

(1).环染色问题

①公式：

$f(m)=(-1)^m*(n-1)+(n-1)^m$

②证明：

2.矩阵

(1).邻接矩阵的幂

邻接矩阵的$i$次方后的 $a(u, v)$ 表示 $u$ 在走了$i + 1$步后走到 $v$的方案总数（钛变态了）

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证明
$c[i][j]$ $=$ $\Sigma a[i][k] * b[k][j] (j \leq i)$
而 $a[i][k]$ 表示 $i$ 到 $k$ 的方案总数，$b[k][j]$ 表示 $k$ 到 $j$ 的方案总数
所以根据乘法原理即证。

(2).矩阵幂的和

(3).矩阵乘法代替图形变换

3.代数变换(消元降次)

(1).均值不等式

(2).错位相消经典题型

①

$\sum_{i = 1}^n i*(i+1)$
$=\sum_{i = 1}^n \frac{i *(i + 1) * [i + 2 - (i - 1)]}{i + 2 - (i - 1)}$
$=\sum_{i = 1}^n \frac{[i * (i + 1) * (i + 2) - (i - 1) * i * (i + 1)]}{3}$
$\because$ 错位相消
$=\frac{n * (n + 1) * (n + 2)}{3}$

4.模拟退火相关常量

const double q = 0.996;
// 温度变动量

srand (998244353);
for (int i = 1; i <= 1000; i++)
	srand (rand ());
//种子初值

delta = ans1 - ans2;
if (exp (-delta / t) * RAND_MAX > rand ())
//选择概率

double cx = now.x + ((rand() << 1) - RAND_MAX) * t; 
//下一个随机点

5.计算几何

(1).知三角形三点坐标求面积

Ⅰ

$|(y_j-y_i)\cdot(x_k-x_i)-(y_k-y_i)\cdot(x_j-x_i)|$
纵切法证明

Ⅱ 海伦公式

$p = \frac{a+b+c}{2}$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$