bzoj4709 柠檬 单调栈,DP,斜率优化

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目录

• 思路
  • • 特性1
    • 特性2
    • 特性3
    • 总结思路，把他们用栈一起维护起来就是了？
• 错误
• 代码

思路

s是值等于a[i]的前缀和
转移方程$f[i]=max(f[i],f[j-1]+a[i]*(s[i]-s[j]+1)*(s[i]-s[j]+1))$
不难写出暴力方程(by wxyww)
//@baoli
memset(f,-0x3f,sizeof(f));
f[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i) {
	for(int j=1;j<=i;++j) {
		if(a[i]==a[j]) {
			f[i]=max(f[i],f[j-1]+a[i]*(s[i]-s[j]+1)*(s[i]-s[j]+1));
		}
	}
}

关于此题的单调性

特性1

每一段分出来的都一定是两端相同的，显然

特性2

他满足斜率单调，也就是要维护凸包

ll X(int i) {return 2LL*a[i]*s[i];}
ll Y(int i) {return f[i-1]+1LL*a[i]*s[i]*s[i]-2LL*a[i]*s[i];}

特性3

如果\(j<k\)且\(f_{j-1}+a{i}*(s{i}-s{j}+1)^2 > f{k-1}+a{i}*(s{i}-s{k}+1)^2\)
显然，f和s都是单增的
那么对于i以后的点都是j决策大于k决策
为何？显然(我只能这样说)，大概可以理解为\(s{i}-s{j}\)的变化量比\(s{i}-s{k}\)大0

总结思路，把他们用栈一起维护起来就是了？

错误

全程懵逼

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int n,a[N],s[N],vis[N],top[N];
ll f[N];
vector<int> q[N];
ll X(int i) {return 2LL*a[i]*s[i];}
ll Y(int i) {return f[i-1]+1LL*a[i]*s[i]*s[i]-2LL*a[i]*s[i];}
long double calc(int j,int k) {return (Y(k)-Y(j))/(long double)(X(k)-X(j));}
ll dp(int i,int j) {return f[j-1]+(ll)a[i]*(s[i]-s[j]+1)*(s[i]-s[j]+1);}
int main() {
	scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),s[i]=++vis[a[i]];
    for(int i=1;i<=n;++i) if(!q[a[i]].size()) q[a[i]].push_back(0);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        ll p=a[i];
        while(top[p]>1 && calc(q[p][top[p]],q[p][top[p]-1]) <= calc(q[p][top[p]],i)) 
            top[p]--,q[p].pop_back();
        top[p]++;q[p].push_back(i);
        while(top[p]>1 && calc(q[p][top[p]],q[p][top[p]-1]) <= s[i])
            top[p]--,q[p].pop_back();
        f[i]=dp(i,q[p][top[p]]);
    }
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}