特征根法小记

特征根法小记

对于\(k\)阶循环数列\(a_{n+k}=c_1*a_{n+k-1}+c_2*a_{n+k-2}+...+c_k*a_{n}\)的通项求解。

首先，对于\(k\)次特征方程:\(x{^k}=c_{1}*x^{k-1}+c_2*x^{k-2}+...+c_k\)，我们可以得到\(k\)个不同的解。

对于特征方程的\(k\)个解，我们记为\(x_1,x_2....,x_k\)，称其为数列\({a_n}\)的特征根。

对于有无重根进行分类：

对于无重根的情况

我们可以得到\(a_n=A_1*{x_1}^n+A_2*{x_2}^n+.....A_k*{x_k}^n​\)。

其中数列\(A_n\)可以由数列初始值消元得到。

对于有重根的情况

假设方程有\(s\)个不同的根\(x_i\)，其中第\(i\)个根\(x_i\)有\(t_i\)个重根，即\(\sum_{i=1}^{s}t_i=k\)

可以得到\(a_n=F(1,n)*{x_1}^n+F(2,n)*{x_2}^n+....+F(s,n)*{x_s}^n\).

其中\(F(i,n)=A_{1,i}+A_{2,i}*n+....A_{t_i,i}*n^{t_i-1}\)，而\(A_{n,m}\)数列可以由初值消元得到。

对于\(k\)元的证明需要用到线性代数的知识（矩阵那一块的），就先咕了。。。。