组合数学学习小记

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1.第一类斯特林数：表示将$ n$ 个不同元素构成\(m\)个圆排列的数目。

递推式：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。

递推式证明如下：

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我们考虑第\(n\)个元素放的位置。

（1）前\(n-1\)个元素构成了\(m-1\)个圆排列，第\(n\)个元素独自构成一个圆排列:\(s(n-1,m-1)\)

（2）前\(n-1\)个元素构成了\(m\)个圆排列，第\(n\)个元素插入到任意元素的左边:\((n-1)*S(n-1,m)\)

综上：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。

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对于第一类斯特林数我们有以下特点：

1.\(s(n,n-2)=2*C(n,3)+3*C(n,4)\)

2.\(s(n,n-1)=C(n,2)\)

3.\(\sum_{i=0}^{n}s(n,i)=n!\)

2.第二类斯特林数：表示将\(n\)个不同的元素拆分成\(m\)个非空集合的方案数。

递推式：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)\)。

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同理，我们还是考虑第\(n\)个元素的放置情况。

（1）前\(n-1\)个元素构成了\(m-1\)个集合，那么第\(n\)个元素单独构成一个集合:\(S(n-1,m-1)\)。

（2）前\(n-1\)个元素已经构成了\(m\)个集合，将第\(n\)个元素插入到任意一个集合:\(m*S(n-1,m)\)。

综上：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m\)。

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同时附上一个第二类斯特林数的容斥公式：\(S(n,m)=\frac{1}{m!}*\sum_{i=0}^{m}{(-1)^i*C(m,i)*(m-i)^n}\)。

第二类斯特林数的实际意义

（1）n个不同的球，放入m个有区别的盒子,不允许盒子为空,方案数：\(m!*S(n,m)\)。

（2）n个不同的球，放入m个无区别的盒子,允许盒子为空,方案数：\(\sum_{i=0}^{m}S(n,i)\)

PS:一个有趣的事实：\(\sum_{i=0}^{n}S(n,i)*s(i,m)=\sum_{i=0}^{n}s(n,i)*S(i,m)\)。

3.卡特兰数

卡特兰数的实际意义和证明方法过多，笔者不再阐述，下面直接给出通项公式和递推公式。

\(Cat_n=C(2*n,n)-C(2*n,n-1)=\frac{C(2*n,n)}{n+1}=Cat_{n-1}*\frac{4n-2}{n-1}\)。

常见意义：合法出栈方案数，二叉树方案数......

4.圆排列：表示从\(n\)个元素中选\(m\)个在圆周上构成不同的圆的方案数

通项公式：\(\frac{n!}{(n-m)!*m}\)

5.错位排列：\(n\)的相异的元素排成一排，第\(i\)个元素不在第\(i\)位上的方案数

通项公式：\(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

证明如下：

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我们假设第\(n\)个数排在第\(k\)位上，其中\(k\in[1,n-1]\)。

（1）.当第\(k\)个数排在第\(n\)位时，除了第\(n\)个数和第\(k\)个数以外还有\(n-2\)个数，其方案数为\(D_{n-2}\)。

（2）.当第\(k\)个数不排在第\(n\)位时，将第\(n\)位重新想成新的“第\(k_1\)位”，这时的包括第\(k\)个数在内的剩下\(n-1\)个数的每一种错排，方案数为\(D_{n-1}\)。

由于，\(k\in[1,n-1]\)，所以\(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

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附上一个容斥的公式：\(D_n=n!*\sum_{i=2}^{n}{(-1)^i*\frac{1}{i!}}\)

6.隔板法

（1）.\(n\)个同样的小球分成\(m\)个不同的组别，每组不为空，方案数为：\(C(n-1,m-1)\)。

（2）.\(n\)个同样的小球分成\(m\)个不同的组别，每组可以为空，方案数为：\(C(n+m-1,m-1)\)。

先写到这了，以后有东西再补。。。。。