洛谷P1017题解 [NOIP2000 提高组] 进制转换

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P1017 [NOIP2000 提高组] 进制转换

题目描述

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置为指数,以 1010 为底数的幂之和的形式。例如 123123 可表示为 \(1 \times 10^2+2\times 10^1+3\times 10^01×10\) 这样的形式。

与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置为指数,以 \(2\) 为底数的幂之和的形式。

一般说来，任何一个正整数\(R\)或一个负整数 \(-R\) 都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以 \(R\) 或 \(-R\) 为基数,则需要用到的数码为 \(0,1,....R-1\)

例如当 \(R=7\) 时,所需用到的数码是 \(0,1,2,3,4,5,6\)，这与其是 \(R\) 或 \(-R\) 无关。如果作为基数的数绝对值超过 \(10\) ,则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于 \(9\) 的数码。例如对 \(16\) 进制数来说,用 \(A\) 表示 \(10\),用 \(B\) 表示 \(11\)，用 \(C\) 表示 \(12\)，以此类推。

在负进制数中是用 \(-R\) 作为基数，例如 \(-15\)（十进制）相当于 \(110001\)（\(-2\)进制），并且它可以被表示为 \(2\) 的幂级数的和数：

\[110001=1\times (-2)^5+1\times (-2)^4+0\times (-2)^3+0\times (-2)^2+0\times (-2)^1 +1\times (-2)^0 \]

设计一个程序,读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数。

输入格式

输入的每行有两个输入数据。

第一个是十进制数 \(n\)。 第二个是负进制数的基数 \(-R\)。

输出格式

输出此负进制数及其基数，若此基数超过 \(10\)，则参照 \(16\) 进制的方式处理。

输入输出样例

输入 #1

30000 -2

输出 #1

30000=11011010101110000(base-2)

输入 #2

-20000 -2

输出 #2

-20000=1111011000100000(base-2)

输入 #3

28800 -16

输出 #3

28800=19180(base-16)

输入 #4

-25000 -16

输出 #4

-25000=7FB8(base-16)

说明/提示

【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(-20 \le R \le -2\)，\(|n| \le 37336\)。

NOIp2000提高组第一题

题解

本题难度不大，主要考察进制之间的转换问题，仿照十进制转二进制的“除基取余法”的思想，可以通过将原数除以负基数求商并取余的方法实现负数进制的转换，需要注意的是这里的余数 \(r\) 必须为正值，记被除数和除数分别为 \(a\) 和 \(b(b<0)\) 根据 \(a=qb+r\) 确定商 \(q\)，此时商满足 \(a\) 为正数时绝对值向下舍入，\(a\) 为负数时绝对值向上舍入，根据这一规律求得商和余数，最后把余数从后到前（从高位到低位）依次输出即可。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n, r, quotient, remainder;
    int remainderArray[33]; //32位有符号整数对应的负进制数表示法长度最长为33位（-2进制的情况下）
    cin >> n >> r;
    cout << n << '=';
    quotient = n;
    unsigned i;
    for (i = 0;quotient != 0;i++)
    {
        remainder = quotient % r; //余数
        if (quotient < 0 && remainder)
            remainder -= r; //被除数和除数均为负数时余数也为负数，所以在求得的余数的基础上要减去除数（加上除数的绝对值）
        remainderArray[i] = remainder; //记录余数（为了倒序输出）
        quotient = quotient >= 0 ? quotient / r : quotient / r + (remainder ? 1 : 0); //商（当被除数为负数时，绝对值要向上舍入，因此最后面当余数不为0时要加上1）
    }
    for (;i > 0;i--) //倒序输出余数
    {
        int output = remainderArray[i - 1];
        if (output < 10)
            cout << output;
        else
            cout << (char)(55 + output); //大于10的数位用大写字母表示
    }
    cout << "(base" << r << ')' << endl;
    return 0;
}