CF1714E Add Modulo 10

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这个E题有点怪。

Description

你有一种操作，名曰 x+=x%10，现在给你 $n$ 个数 $a_1$ 到 $a_n$ ，让你求能否对每个数字进行若干次上述操作使 $n$ 个数相同。

Analysis

由于操作与个位数有关，故对个位数进行分析。

若个位数为 $1$ ，可经一次操作得到 $2$ ；

若个位数为 $3$ ，可经一次操作得到 $6$ ；

若个位数为 $7$ ，可经一次操作得到 $4$ ；

若个位数为 $9$ ，可经一次操作得到 $2$ ；

若个位数为非零偶数，则可经若干次操作相互转化（循环），具体表示为：

2 \to 4 \to 8 \to 6 \to 2 \to 4 \to 8 \to 6 \to 2 \to \dots

$2\to4\to8\to6\to2\to4\to8\to6\to2\to\cdots$

而对于个位数 $0$ 和 $5$ ，则有转化链：

5 \to 0 \to 0 \to 0 \to \dots

$5\to0\to0\to0\to\cdots$

规律应该都懂了，下面看怎么判断多个数能否转为同一个数。

第一种情况： $\exists a_i,a_i\equiv0\ \text{or}\ 5\pmod{10}$
则末位为 $5$ 的数最多进行一次操作，末位为 $0$ 的进行操作无效。故只需两次特判，一次原序列判断是否全相等，一次判断对末位为 $5$ 的数操作一次能否是全序列相等，若有一次满足相等，则输出 Yes，否则为 No。
第二种情况： $\forall a_i,a_i\not\equiv0\ \text{or}\ 5\pmod{10}$
不妨先对序列不降排序，把除最大数外数的各位都转化为 $2$ 结尾的数，目的是将各数转化到 $2486$ 的循环上。

然后对 $a_n$ 即最大数进行操作，达成一次末位数循环，比如： $7\to4\to8\to6\to2$ 。对于每个操作后的 $a_n$ ，都对 $a_1$ ~ $a_{n-1}$ 扫描一次判断能否经过操作达到当前的 $a_n$ 。

由于一次 $2486$ 循环加 $2+4+8+6=20$ ，故判断是只需将 $a_n-a_i$ 的值先模 $20$ ，再判断余数是否为 $0,2=2,2+4=6$ 或 $2+4+8=14$ ，若能分解则 $a_i$ 可经过有限次操作转化为当前的 $a_n$ 。

若有一个操作后的 $a_n$ 对 $a_1$ ~ $a_{n-1}$ 均能达成，则输出 Yes，否则 No。

讲起来有些复杂，举个例子：原序列为 $44,11$ 。

第一步，先排序，得 $11,44$ ；

第二步，把除最大值外的数末位操作为 $2$ ，得 $22,44$ ；

第三步，对 $44$ 进行末位数循环： $44\to88\to176\to352\to704$ ，发现 $44-22=22\equiv2\pmod{20}$ ，故 $a_n$ 原数即可行，故答案为 Yes。

Code

理论明白了，还要用代码实现。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const LL N = (LL)2e5 + 5, rep[] = {0, 2, 4, 8, 6}, srep[] = {0, 2, 6, 14};
LL n, a[N];
inline bool check(LL x) {
    x %= 20;
    for (LL i = 0; i < 4; ++i)
        if (x == srep[i]) return true;
    return false;
}
int main(void) {
    LL t; for (scanf("%lld", &t); t--; ) {
        scanf("%lld", &n); bool flag = false;
        for (LL i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%lld", &a[i]);
            if (a[i] % 5 == 0)  flag = true; //是否存在 x % 5 == 0 的数 x
        }
        if (flag) {
            bool ok = true;
            for (LL i = 1; i <= n; ++i) {
                if (a[i] % 10 == 5) a[i] += 5;
                if (i != 1 && a[i] != a[i - 1]) {ok = false; break;}
            }
            puts(ok ? "Yes" : "No");
            continue;
        }
        std:: sort(a + 1, a + 1 + n); //排序
        for (LL i = 1; i <= n; ++i) //转末位为2
            while (a[i] % 10 != 2) a[i] += a[i] % 10;
        for (LL i = 0; i < 5; ++i) { //最大数末位循环
            a[n] += rep[i]; flag = true;
            for (LL j = 1; j < n; ++j)
                if (!check(a[n] - a[j])) {flag = false; break;} //判断各数可行与否
            if (flag) break;
        }
        puts(flag ? "Yes" : "No");
    }
    return 0;
}