[算法] 计算中表示旋转的几种方法

如何表示旋转，可能的表示方法有：
（1）轴-角(axis-angle)表示法。方便转换，几何意义明显
（2）欧拉角表示法
（3）旋转矩阵（rotation matirces)法
（4）四元数法

第一种所谓轴-角表示法，是说任何的旋转情况都归类为下面这种情况，即一个旋转将向量\(x\)旋转为\(x'\)，一定是绕一个旋转轴\(\hat{n}`\)旋转了\(\theta\)度，因此，任何一个旋转都可以表示为一个旋转轴\((x,y,z)\)和一个角度\(\theta\)

这里有

通过Rodrigues formula:

一种常见的写法改写成：

IIRC,这里应该是用了叉乘矩阵和单位矩阵的一个减法做的变换。

第二种欧拉角表示法，看维基百科上，有动态定义和静态定义两种理解方法，我认为可以简单地用动态定义理解为绕xyz轴分别旋转三个角度得到最后的图形，只不过要注意的是旋转的轴本身是会变的，但是矩阵乘法刚好也反映了这一点。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Euler2a.gif

第三种是旋转矩阵法，从代数的角度理解旋转矩阵，那就是空间之间的变换，同时，结合上面两种表示法，也可以有另外的理解。
首先是空间之间的变换。想象我们有两个三维线性空间的直角坐标系，一个\(\hat{u_1},\hat{u_2},\hat{u_3}\)，一个\(\hat{u_1}^',\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}\)，其中\(\hat{{u}^'}\)是\(\hat{{u}}\)经过某种旋转变换得到的像，那么由线性代数的知识，在\(\hat{u_1},\hat{u_2},\hat{u_3}\)坐标系下表示\(\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'},\hat{{u_1}^'}\)的坐标

将坐标写成矩阵，实际上就描述了这一旋转的矩阵：

其次是所谓轴-角表示法。轴-角表示的旋转可以写成\(rot(\hat{n},\theta)\),的形式，将叉乘矩阵带入上面的Rodrigues Formula，即可得到对应的矩阵形式。

至于欧拉角法，其实就是三个矩阵相乘。