719. 找出第 K 小的数对距离

找出第 K 小的数对距离
数对 (a,b) 由整数 a 和 b 组成，其数对距离定义为 a 和 b 的绝对差值。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，数对由 nums[i] 和 nums[j] 组成且满足 0 <= i < j < nums.length 。返回 所有数对距离中 第 k 小的数对距离。

示例 1：

输入：nums = [1,3,1], k = 1
输出：0
解释：数对和对应的距离如下：
(1,3) -> 2
(1,1) -> 0
(3,1) -> 2
距离第 1 小的数对是 (1,1) ，距离为 0 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：0

示例 3：

输入：nums = [1,6,1], k = 3
输出：5

思路

排序：
- 首先对数组 nums 进行排序。因为在排序后的数组中，数对的距离有一个规律：|nums[i] - nums[j]|（其中 i < j）会随着 i 和 j 的增大而增大。因此，排序后的数组有助于我们更高效地查找第 k 小的距离对。
二分查找：
- 问题是求第 k 小的距离，而距离的范围是从0 到nums[nums.length - 1] - nums[0]（即排序后的数组中最大值和最小值的差）。
- 我们可以使用二分查找来逼近第 k 小的距离。具体的二分查找目标是：
  - 左边界 left：表示最小的距离，即 0。
  - 右边界 right：表示最大的距离，即 nums[nums.length - 1] - nums[0]。
  - 通过判断中间的距离 mid，我们可以决定更新二分查找的左右边界，从而逐步找到第 k 小的距离。
  这里把 mid 这个中间距离挑出来的意思是因为，我想要通过统计小于等于 mid 这个中间距离的数对的个数来决定，我这个二分的区间应该怎样去收缩。并且也说明我要写一个用于统计数量的函数，也就是下面的 countPairs
计数函数：
- 对于每一个 mid，我们需要计算所有数对 (nums[i], nums[j])，使得 |nums[i] - nums[j]| <= mid 的数对的数量。我们使用双指针技巧来高效计算这个数量。

使用指针 i 固定一个元素，指针j 作为第二个元素，j 从i+1 开始向右移动，直到 nums[j] - nums[i] > mid。
在此过程中，i 固定时，所有符合 nums[j] - nums[i] <= mid 条件的数对 (i, j) 都是有效的。
countPairs(mid) 函数的时间复杂度是 O(n)，因为我们只需要一次遍历数组即可。

如何更新二分查找的左右边界：
- 如果对于当前的 mid，countPairs(mid) 的值小于 k，说明当前的 mid 太小，我们需要增加 mid，因此更新左边界 left = mid + 1。
- 如果 countPairs(mid) 的值大于或等于 k，说明当前的 mid 可能是解或者可以继续缩小，所以更新右边界 right = mid。

import java.util.Arrays;

class Solution {
    public int smallestDistancePair(int[] nums, int k) {
        Arrays.sort(nums); // 排序数组
        int left = 0, right = nums[nums.length - 1] - nums[0]; // 左右边界初始化
        
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2; // 计算 mid，避免溢出
            if (countPairs(nums, mid) < k) {
                left = mid + 1; // 如果符合条件的数对小于 k，更新左边界
            } else {
                right = mid; // 否则更新右边界
            }
        }
        return left; // 最终的 left 即为第 k 小的距离
    }

    // 计算所有 |nums[i] - nums[j]| <= mid 的数对个数
    private int countPairs(int[] nums, int mid) {
        int count = 0;
        int j = 0;
        
        // 使用双指针技巧
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 向右移动 j，直到 nums[j] - nums[i] > mid
            while (j < nums.length && nums[j] - nums[i] <= mid) {
                j++;
            }
            // 计算符合条件的数对个数，减去 i 和 i 的情况
            count += (j - i - 1);
        }
        return count;
    }
}