287. 寻找重复数

寻找重复数
给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有 一个重复的整数 ，返回 这个重复的数 。

你设计的解决方案必须 不修改 数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2

示例 2：

输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3

示例 3 :

输入：nums = [3,3,3,3,3]
输出：3

思路

这个问题可以通过 二分查找 来解决，我们可以利用数组中数字的分布来推测重复的数字。

二分法的核心思想：

分段统计法：我们把数组中的数字分成两部分：一部分小于等于某个值，另一部分大于这个值。通过计数的方式，我们可以判断重复的数字在哪一段。
二分查找的条件：通过在区间 [1, n] 上进行二分查找，检查数字的分布情况。根据每次二分的结果，可以不断缩小搜索的范围，直到找到重复的数字。

详细步骤：

二分查找：我们定义一个区间 [low, high]，初始化为 [1, n]，然后在这个区间内进行二分查找。
计数：对于区间 [low, high]，我们计算数组中有多少个数字小于或等于 mid（即 mid = (low + high) / 2）。如果这些数字的个数超过了 mid - low + 1，则说明重复的数字在 [low, mid] 这个区间内。
缩小范围：根据计数的结果，调整 low 和 high 的值，不断缩小搜索范围，直到找到重复的数字。

public class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int low = 1, high = nums.length - 1;  // 数字范围是 [1, n]
        
        while (low < high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;  // 防止溢出
            int count = 0;
            
            // 统计 nums 中小于等于 mid 的数字个数
            for (int num : nums) {
                if (num <= mid) {
                    count++;
                }
            }
            
            // 如果小于等于 mid 的数字个数大于 mid，那么重复的数字在 [low, mid] 之间
            if (count > mid) {
                high = mid;  // 继续在左半区间查找
            } else {
                low = mid + 1;  // 继续在右半区间查找
            }
        }
        
        return low;  // low 即为重复的数字
    }
}

解释：

low 和 high：初始化为 [1, n]，这表示数组中的元素在这个范围内。
mid：在 [low, high] 范围内选择中间值 mid，然后统计数组中小于等于 mid 的元素个数。
计数：通过遍历数组，统计数组中小于等于 mid 的元素个数。若该个数大于 mid，则说明重复的元素必然在 [low, mid] 范围内。
更新区间：根据统计结果，更新 low 和 high，直到 low == high，此时 low 就是重复的数字。

细节解释

如果 count > mid：
- 这意味着在数组中，值小于或等于 mid 的元素有 超过 mid 个。由于数组中的元素范围是 [1, n]，而数组长度是 n + 1，这就意味着某个数字至少重复一次，重复的数字必须在 low 到 mid 这个区间内。
- 因此我们将 high 设置为 mid，缩小查找范围到左半区间。这个时候我们并不加 1，因为我们还需要检查当前 mid 是否为重复元素。
如果 count <= mid：
- 这意味着在数组中，值小于或等于 mid 的元素的个数不超过 mid。这表明重复的数字可能在 mid + 1 到 high 这个区间内，因为 mid 之前的数字分布没有问题。
- 因此，我们将 low 设置为 mid + 1，缩小查找范围到右半区间。