称球问题

称球问题的一个经典形式如下:

"有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其他十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就能保证找出那个坏球，并知道它比标准重还是轻。"

这个问题比较好的叙述和解答可以参加《称球问题--经典智力题推而广之三》和 WC2003 何林的论文《一类称球问题的解法》（用到了三分及判定树的思想）。

详细的过程我就不写了，把加个结论再叙述一下：

有一架天平，有n(n >= 3)个球，其中一个是次品。(注：下面用符号{}表示取上整,[]表示取下整)

结论1 次品的重量比其他重（轻），称{log3(n)}次就能找出那个次品

结论2  次品的重量不知。有一个标准球。称{log3(2*n)}次可以找出那个次品，并且知道次品的轻重。

结论3  次品的重量不知。称{log3(2*n+2)}次就能找到次品，并且知道次品的轻重。

结论4  次品的重量不知。有一个标准球。称{log3(2*n-1)}次可以找出次品。

如果m>=0,n>=0且m，n不同时为0.在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻，此外我们还知道有一个坏球(但不知轻重)

结论5  要保证m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。 如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)} = 1次就足够了。注:如果m=n=1并且没有标准球，那么永远也称不出坏球。

现有n个小球，其中有一个坏球不知道比标准球轻还是重，令H={log3(2*n)}。要保证N个球中找出坏球并知道轻重，至少需要称H次。假设n不等于2，则有

结论6 如果N<(3^H - 1)/2，那么称H次就足够了;N=(3^H - 1)/2，那么称H次足以找到坏球，但不足以知道坏球比标准球是重还是轻;如果N=(3^H - 1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保证找到坏球和知道坏球比标准球轻还是重。特别地，当N=2时，如果还另有一个标准球，称H={log3(2*2)}=2次足以保证找到坏球和知道坏球比标准球轻还是重。

下面是几个和“称球问题”相关的题目:

1. hit 2519 Fake coin

上述结论1

2. ustc 624 称球问题

这个题目是给定可以称的次数，问最多可以在多少个球中可以称出坏球。由于题目并没有要求知道坏球的轻重，因此我们可以使用结论6，即N=(3^H - 1)/2,但是这里有一个/2，无法满足题目中的同余性质，我们当然可以使用大数运算，不过此题还有更加好的方法。我们设f(h)=(3^h - 1)/2,则f(h+1)=(3^(h+1)-1)/2，不难得到f(h+1)=f(h)+3^h，那这样的话就可以使用同余性质了。但是h的范围在10^9，直接线性的循环肯定挂了。其实不难想象这个数列有循环节，写个程序就可以找到了，循环节是464。

3. pku 1029 False coin 

这个题目是给定了n个球，其中有一个坏球，重量未知，然后给出K组称量结果，问最后的坏球是哪一个，这个题目直接做比较烦琐，我直接枚举第i个球是坏球，并且是轻还是重来做，最后再判断的，时间复杂度O(n * k * 2)