【算法】【河内塔问题】

问题描述：给定一个由8个圆盘组成的塔，这些圆盘按照大小递减的方式套在三根木桩中的一根上，将整个塔移动在另一根桩柱上，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘在移动过程中不能放置在较小圆盘上。

思路分析：先研究小的情形：当圆盘数n=1时，显然移动次数T[1]=1;n=2时，移动次数T[2]=3;若想将n个圆盘移动到另一根桩柱上，则可以先移动前n-1个到中间桩柱上，再移动最大的圆盘至目标桩柱，最后将前n-1个圆盘移动到目标桩柱上：T[n]<=2T[n-1]+1 ---(a);

由于移动最大圆盘的时候，前n-1个圆盘必须在某根桩柱上，这至少需要T[n-1]次移动，移动最大圆盘之后，必须把前n-1个圆盘移动到目标桩柱上：T[n]>=2T[n-1]+1 ---(b)   

由(a)、(b)两式得：T[0]=0,T[n]=2T[n-1]+1

问题求解：（1）观察可知T[n]=2^n-1 n>=0;证明：n=0时 T[n]=2^0-1=0  不妨设T[k]=2^k-1 那么对于k+1 T[k+1]=2T[k]+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)+1 故得证

（2）令U[n]=T[n]+1 则U[n]=2U[n-1] U[0]=1 故U[n]=2^n T[n]=2^n-1