从零开始学算法(二)——回溯

首先介绍“回溯”算法的应用。

“回溯”算法主要用于搜索，有时“回溯算法”也叫“回溯搜索”。这里“搜索”的意思是“查找所需要的解”。我们每天使用的“搜索引擎”就是帮助我们在庞大的互联网上搜索我们需要的信息。而这里的“回溯”指的是“状态重置”，可以理解为“回到过去”、“恢复现场”，是在编码的过程中，是为了节约空间而使用的一种技巧。而回溯其实是“深度优先遍历”特有的一种现象。之所以是“深度优先遍历”，是因为我们要解决的问题通常是在一棵隐式的树上完成的。

“全排列”就是一个非常经典的“回溯”算法的应用。我们知道，N 个数字的全排列一共有 N!N! 这么多个。

大家可以尝试一下在纸上写 3 个数字、4 个数字、5 个数字的全排列，相信不难找到这样的方法。

例如数组 [1, 2, 3] 的全排列。

我们先写以 1 开头的全排列，它们是：[1, 2, 3], [1, 3, 2]；
再写以 2 开头的全排列，它们是：[2, 1, 3], [2, 3, 1]；
最后写以 3 开头的全排列，它们是：[3, 1, 2], [3, 2, 1]。
我们只需要按顺序枚举每一位可能出现的情况，已经选择的数字在接下来要确定的数字中不能出现。按照这种策略选取就能够做到不重不漏，把可能的全排列都枚举出来。

在枚举第一位的时候，有 3 种情况。
在枚举第二位的时候，前面已经出现过的数字就不能再被选取了；
在枚举第三位的时候，前面 2 个已经选择过的数字就不能再被选取了。
这样的思路，我们可以用一个树形结构来表示。

 

 

使用编程的方法得到全排列，就是在这样的一个树形结构中进行编程，具体来说，就是执行一次深度优先遍历，从树的根结点到叶子结点形成的路径就是一个全排列。

同样是遍历，我们很自然提出疑问，广度优先遍历是否可以。答案是：当然可以，有些搜索问题的确是使用广度优先遍历解决的的。

这里使用深度优先遍历的原因是：1、编码方便；2、全局使用同一份状态变量，避免资源浪费；3、深度优先遍历在执行的过程中，状态不会发生跳跃，状态转移非常容易。

 

 

 

 

下面我们解释如何编码：

1、首先这棵树除了根结点和叶子结点以外，每一个结点做的事情其实是一样的，即在已经选了一些数的前提，我们需要在剩下还没有选择的数中按照顺序依次选择一个数，这显然是一个递归结构；

2、递归的终止条件是，数已经选够了，因此我们需要一个变量来表示当前递归到第几层，我们把这个变量叫做 depth；

3、这些结点实际上表示了搜索（查找）全排列问题的不同阶段，为了区分这些不同阶段，我们就需要一些变量来记录为了得到一个全排列，我们进行到那一步了，在这里我们需要两个变量：

（1）已经选了哪些数，到叶子结点时候，这些已经选择的数就构成了一个全排列；
（2）一个布尔数组 used，初始化的时候都为 false 表示这些数还没有被选择，当我们选定一个数的时候，就将这个数组的相应位置设置为 true ，这样在考虑下一个位置的时候，就能够以 O(1)O(1) 的时间复杂度判断这个数是否被选择过，这是一种“以空间换时间”的思想。

我们把这两个变量称之为“状态变量”，它们表示了我们在求解一个问题的时候所处的阶段。

4、在非叶子结点处，产生不同的分支，这一操作的语义是：在还未选择的数中依次选择一个元素作为下一个位置的元素，这显然得通过一个循环实现。

5、另外，因为是执行深度优先遍历，从较深层的结点返回到较浅层结点的时候，需要做“状态重置”，即“回到过去”、“恢复现场”，我们举一个例子。

从 [1, 2, 3] 到 [1, 3, 2] ，深度优先遍历是这样做的，从 [1, 2, 3] 回到 [1, 2] 的时候，需要撤销刚刚已经选择的数 3，因为在这一层只有一个数 3 我们已经尝试过了，因此程序回到上一层，需要撤销对 2 的选择，好让后面的程序知道，选择 3 了以后还能够选择 2。

这种在遍历的过程中，从深层结点回到浅层结点的过程中所做的操作就叫“回溯”

下面我们就来看看代码应该如何编写：

public class Solution {

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        // 首先是特判
        int len = nums.length;
        // 使用一个动态数组保存所有可能的全排列
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

        if (len == 0) {
            return res;
        }

        boolean[] used = new boolean[len];
        List<Integer> path = new ArrayList<>();

        dfs(nums, len, 0, path, used, res);
        return res;
    }

    private void dfs(int[] nums, int len, int depth,
                     List<Integer> path, boolean[] used,
                     List<List<Integer>> res) {
        if (depth == len) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (!used[i]) {
                path.add(nums[i]);
                used[i] = true;

                dfs(nums, len, depth + 1, path, used, res);
                // 注意：这里是状态重置，是从深层结点回到浅层结点的过程，代码在形式上和递归之前是对称的
                used[i] = false;
                path.remove(depth);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {1, 2, 3};
        Solution solution = new Solution();
        List<List<Integer>> lists = solution.permute(nums);
        System.out.println(lists);
    }
}

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其他一些适合回溯算法的题目

• 47. 全排列 II  （思考一下，为什么造成了重复，如何在搜索之前就判断这一支会产生重复，从而“剪枝”。）
• 17 .电话号码的字母组合
• 22. 括号生成 （这是字符串问题，没有显式回溯的过程。这道题广度优先遍历也很好写，可以通过这个问题理解一下为什么回溯算法都是深度优先遍历，并且都用递归来写。）
• 39. 组合总和 （使用题目给的示例，画图分析。）
• 40. 组合总和 II
• 51. N皇后 （其实就是全排列问题，注意设计清楚状态变量。）
• 60. 第k个排列（ 利用了剪枝的思想，减去了大量枝叶，直接来到需要的叶子结点。）
• 77. 组合（ 组合问题按顺序找，就不会重复。并且举一个中等规模的例子，找到如何剪枝，这道题思想不难，难在编码。）
• 78. 子集 （为数不多的，解不在叶子结点上的回溯搜索问题。解法比较多，注意对比。）
• 90. 子集 II（ 剪枝技巧同 47 题、39 题、40 题。）
• 93. 复原IP地址
• 784. 字母大小写全排列

 

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转载自：liweiwei1419 链接：https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-python-dai-ma-java-dai-ma-by-liweiw/