等差乘等比型数列求和与待定系数法

等差乘等比型数列求和与待定系数法

近日,看到一数的视频:待定系数法和执果索因,不禁联想到以前见到的一个公式.

对于数列\(h_i=(an+b)\cdot q^{n-1}\):

\[\sum^n_{i=1}h_i=(An+B)q^n-B\\ A=\frac a{q-1},B=\frac{b-A}{q-1} \]

笔者以前也曾尝试过推等差乘等比型数列求和公式,得到的结果不堪入目,直到看到一数的视频,忽然想到,上述公式是不是也可以通过执果索因来逆向推导呢?

首先,我们要明确我们的果是什么样子,我们只需知道大致形式即可.

为了方便,令\(S_n=\sum^n_{i=1}h_i\),按照常规错位相减的方法,我们会得到\(S_n=常数项+\text{等比数列}-\frac{(an+b)q^n}{1-q}\),(我们把\(a,b,q\)都当作常数处理,只关注和\(n\)有关的项).

其中,回顾等比数列求和公式:\(\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\),放到这里,大致判断\(a_1\)是一个和\(n\)无关的量,即我们说的常数.整理一下,可以发现\(S_n=常数+\text{常数}\times q^n+\text{常数}\times n\cdot q^n\),这就是我们想要的"果"了.

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不妨设

\[S_n=(An+B)\cdot q^n+C \]

解出\(A,B,C\)即可.

\(S_n=\sum^n_{i=1}h_i\)和"\(\forall n\ge 2,S_n-S_{n-1}=a_n\)且\(S_1=a_1\)"是充要条件.所以我们得到了两条等式.

先看第一个

\[S_n-S_{n-1} =(An+B)\cdot q^n-(An-A+B)\cdot \frac{q^n} q=(an+b)\cdot q^{n-1} \\ q^{n}\Big( (A-\frac Aq)n + B+\frac {A-B}q \Big) = q^n(\frac aq n+ \frac bq) \]

算了这么多,不要忘记我们想干什么,我们想要上面的式子对\(\forall n\ge 2\)恒成立,所以根据对应系数相等,有:

\[\begin{cases} A-\frac Aq=\frac aq\\ B+\frac{A-B}q=\frac bq \end{cases} \]

我们非常容易地就可以解得\(A=\frac {a}{q-1},B=\frac {b-A}{q-1}\).

然后考虑\(C\)的问题,按理说,通过\(S_1=a_1\),我们也可以解出\(C\),但是笔者经过尝试发现这个过程并不容易.

我们打开上帝视角知道结果是\(C=-B\),带入\(S_1=a_1\),我们发现等式确实成立,这里就不从正向推导\(C=-B\)了.

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最后,笔者有一个问题,为什么\(C=-B\),这仅仅是巧合吗?还是有某种内在逻辑关系?代数方法固然可以严谨证明,但是不知道有没有比较感性的证明?