ABC207:D - Congruence Points #几何# #数学#

目录

• 题目
• 思路
  • 前置知识
    • 已知坐标求角度
    • 绕原点旋转坐标变化
    • 二维平面点的重心
  • 正式思路
• 代码

ABC207:D - Congruence Points #几何# #数学#

题目

https://atcoder.jp/contests/abc207/tasks/abc207_d

大意:给定两个二维平面,各有\(n\)个点,问,第一个平面上的点经过若干次整体平移或整体旋转(任意角度),能否和第二个平面的点重合

横纵坐标范围:\([-10,10]\),\(n\)范围:\([1,100]\),均为整数

思路

前置知识

已知坐标求角度

坐标为\((x,y)\)调用atan2(y,x)可求得 (该点与原点连线) 与\(x\)轴所成角

绕原点旋转坐标变化

高一以下学历慎入

设\(A\)坐标为\((x,y)\),\((r\cdot \cos \alpha , \ r\cdot \sin \alpha)\),则\(\cos \alpha=\frac{x}{r},\sin \alpha = \frac{y}{r}\),设\(A\)逆时针旋转\(\beta\)得到\(B\),则\(B(r\cdot \cos (\alpha-\beta) , \ r\cdot \sin (\alpha-\beta)\ )\)

\[\begin{align} r\cdot \cos(\alpha -\beta) &=r\cdot (\cos\alpha\cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \cos \beta) \\ &=r\cdot (\frac{x}{r} \cdot \cos \beta+\frac yr \cdot \sin \beta) \\ &=x \cdot \cos \beta+y \cdot \sin \beta\\ \end{align} \]

同理,

\[\begin{align} r\cdot \sin(\alpha -\beta) &=r\cdot (\sin\alpha\cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta) \\ &=r\cdot (\frac yr \cdot \cos \beta-\frac xr \cdot \sin \beta) \\ &=y \cdot \cos \beta-x \cdot \sin \beta\\ \end{align} \]

所以,用\(x,y\)表示\(B\)为\((x \cdot \cos \beta+y \cdot \sin \beta\ ,\ y \cdot \cos \beta-x \cdot \sin \beta)\)

二维平面点的重心

定义\(n\)个点,坐标依次\((x_i,y_i)\),它们的重心为

\[(\frac{ \sum^n_{i=1}x_i} {n} , \frac{ \sum^n_{i=1}y_i} {n}) \]

若每个点坐标变为\((x_i+a,y_i+b)\),则重心坐标变为:

\[(\frac{ \sum^n_{i=1}x_i} {n}+a , \frac{ \sum^n_{i=1}y_i} {n}+b) \]

正式思路

我们可以通过平移,将两个平面的点的重心都放到原点上.这样,我们就不用考虑原题平移的问题了.

所以,我们只需判断是否旋转重合,复杂度要求不高,直接枚举对应点即可

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 110
#define eps 1e-6
#define sqr(_) ((_) * (_))
bool equ(double _ , double __) {return fabs((_) - (__)) < eps;}
int n;
double a[N] , b[N] , c[N] , d[N];

void input(double *x , double *y) {
	double gx , gy;
	gx = gy = 0;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		cin >> x[i] >> y[i];
		gx += x[i] , gy += y[i];
	}
	gx /= (double)n , gy /= (double)n;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		x[i] -= gx , y[i] -= gy;//平移
	}
}
int main() {
	cin >> n;
	input(a , b);
	input(c , d);
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//必须保证(a[1],b[1])不在原点(否则角度为0,无意义)
		if(a[i] != 0 || b[i] != 0) {
			swap(a[1] , a[i]);
			swap(b[1] , b[i]);
			break;
		}
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		if(equ(sqr(a[1]) + sqr(b[1]) , sqr(c[i]) + sqr(d[i])) == false)	continue;//若A能绕原点旋转B,它们到原点的距离一定相等
		double angle = atan2(b[1] , a[1]) - atan2(d[i] , c[i]);//旋转角
		
		int cnt = 0;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++) {
			double x , y;
			x = a[j] * cos(angle) + b[j] * sin(angle);//旋转变换
			y = b[j] * cos(angle) - a[j] * sin(angle);
			for(int k = 1 ; k <= n ; k++) {
				if(equ(x , c[k]) && equ(y , d[k]))
					++cnt;//没有重合点,直接这样就可以了
			}
		}
		if(cnt == n) {
			puts("Yes");
			return 0;
		}
	}
	puts("No");
	return 0;
}