快速幂:循环&递归

目录

• 递归
• 循环(一般来讲循环会比递归快)
• 附:位运算
  • 移位(">>" & "<<")
  • 与运算(&)

递归

其实原理很简单,有初一的学历就好,你只需要知道(k为正整数):

1. x^2k = x^k * x^k
2. x^2k+1 = x^k * x^k * x
3. 任何数的0次方都为1(除0外)
4. 任何数的1次方都为它本身

至于为什么,问数学老师去
然后一直递归下去即可
代码(计算x^k)

int poww(int x , int k){
	if(k == 1)
		return x;
	int tmp = poww(x , k / 2);
	if(k % 2 == 0)
		return tmp * tmp;
	else
		return tmp * tmp * x;
}

循环(一般来讲循环会比递归快)

这个稍微有亿一点点复杂
你需要知道:

1. 任何数都可以用2的次方(不重复)的和来表示(很简单的道理)10 = 2 + 8 = 2¹ + 2³
   15 = 1 + 2 + 4 + 8 = 2⁰ + 2¹ + 2² +2³
2. x^{a1+a2+a3+...+an}= x^a1 * x^a2 * x^a3 * ... * x^an
   不会的问初中数学老师去

那就出来了系不系很简单
再举个栗子:
3¹⁰ = 3²⁺⁸ = 3² * 3⁸
把10在二进制下表示是(1010)₂(这里想一想位权转换进制10 = 2 + 8 = 2¹ + 2³ )

是不是豁然开朗了

具体实现(1<<i就是2的i次方):
我们把指数k在二进制下一位一位地拆开,拆到第i位时顺便计算x^(1<<i) 如果k的(右往左数,从0开始)第i位(注意是二进制)是1,就把x^(1<<i)乘到结果里去

代码:

int poww_loop(int x,int k) 
{
	int res = 1;
	while(k)
	{
		if(k&1 == 1)
			res *= x;
		x *= x;//注意现在的x已经不是原来的底数,而是原来的底数的(2的i次方)的次方 
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

附:位运算

不详细讲,自己写代码试试,或者到网上搜

移位(">>" & "<<")

把二进制表示下把数字同时向左(右)移动,越界部分舍去,新增部分补0
n << p = n * 2^p
n >>ｐ = n / 2^p
10 << 1 = 20

与运算(&)

如果n&1 == 1,则n是奇数,否则n是偶数
if(n & 1 == 0)等价于 if(n % 2 == 0),但是位运算的效率会更高