HDU 1210 Eddy's 洗牌问题

Problem Description

Eddy是个ACMer,他不仅喜欢做ACM题,而且对于纸牌也有一定的研究,他在无聊时研究发现,如果他有2N张牌，编号为1,2,3..n,n+1,..2n。这也是最初的牌的顺序。通过一次洗牌可以把牌的序列变为n+1,1,n+2,2,n+3,3,n+4,4..2n,n。那么可以证明，对于任意自然数N，都可以在经过M次洗牌后第一次重新得到初始的顺序。编程对于小于100000的自然数N，求出M的值。

Input

每行一个整数N

Output

输出与之对应的M

Sample Input

20
1

Sample Output

20
2

洗牌问题：

定理1：当第一张牌(牌1)回到初始位置时，所有的牌都回到了初始位置。

证明：设有一次操作，某牌在操作前处于位置r(1<=r<=2*N)，那么，操作后，如果r原来是前一半的，显然r'=r*2; 否则，r'=(r-n)*2-1，即r'='r*2-(N*2+1);
将两个式子综合，可以得到r'= (r*2)%(N*2+1);
根据同余定理之一 ((i%m)*j)%m=(i*j)%M，可以整理出公式：i次操作后，该牌的位置为：
(r*(2^i))%(N*2+1);其中^表示乘方。
现在，我们假设经过M次操作后，牌1回到了初始位置，即(1*(2^M))%(N*2+1)=1时，再次应用同余定理，可以证明对于任意的k(1<=k<=2*N)，有(k*(2^M))%(N*2+1)=k，翻译成自然语言就是：当第一张牌回到初始位置时，所有的牌都回到了初始位置。命题得证。

定理2：一定存在某次操作M，这次操作后，所有的牌都回到了初始位置。
证明：我们已经证明了牌1回到初始位置时，所有的牌都回到初始位置，所以我们只需要证明牌1可以回到初始位置，即(2^M)%(N*2+1)=1一定有正整数解。证明这个定理前我们首先证明这样一个定理：
定理2.1：(2*r)%(2*n+1)==t
当t确定为1到2*n中的某值时(1<t<=2*n)，r在1到2*n间有唯一解
因为2*n+1是奇数，我们只要看一下就会发现r到t是一个一一映射，当t为偶数时，显然r=t/2，当t为奇数时，r=(t+1)/2+n，

现在我们来证明定理2。运用反正法，若牌1永远不能回到初始位置，根据鸽笼定理，牌1必然陷入了某个不包含位置1的循环，因为下一状态仅和当前状态有关，当前状态最多只有2*N种，所以显然一定在不超过2*N+1次操作内出现重复状态。而重复状态则意味着循环。
因为我们假设这一循环不包括位置1，我们设f(i)为循环中某状态，f(0)=1,f(n+1)=(f(n)*2)%(2*N+1)，f(j)为若干次循环后出现的重复状态，即f(i)=f(j)。因为循环一直持续，不妨假设j>i+i。又因为循环不包括状态1，即对于任意的k>=i，f(k)!=1
根据定理2.1，我们可以根据当前状态推出上一状态，换句话说，若f(i)=f(j)，则f(i-1)=f(j-1)。继续套用定理2.1，可以得到f(i-i)=f(j-i)，即：f(j-i)=f(0)=1。又有假设j>i+i，即j-i>i，与另一假设对于任意的k>=i，f(k)!=1矛盾。
因此，可以证明，牌1所陷入的循环，必然是包含位置1的，即一定有某次操作，操作后牌1回到了初始状态。而且显然的，初始状态就是这循环中的一个状态。
因此命题得证。

code：

 #include<stdio.h>
        int main()
        {
         int n,sum,k;
         while(scanf("%d",&n)!=EOF)
         {
          sum=0;
          k=1;
          for(;;)
          {
           if(k>n)
            k=2*(k-n)-1;
           else
            k=2*k;
           sum++;
           if(k==1)
            break;
          }
          printf("%d\n",sum);
         }
         return 0;
        }