BZOJ3141 Hnoi2013 游走 【概率DP】【高斯消元】*

BZOJ3141 Hnoi2013

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

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我们先把概率的DP转移方程列出来
发现因为是无向图，所以一定有方程转移是纠缠在一起的

然后我们就用高斯消元的方式解开方程组就可以得到答案了

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 510
int n,m,out[N];
double p[N][N];
bool mp[N][N];
const double eps=1e-9;
struct Q{
    int x,y;
    double w;
}e[N*N];
bool cmp(const Q& a,const Q& b){
    return a.w>b.w;
}
void gauss(int n,double a[N][N]){
    for(int i=0;i<n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i]))r=j;
        if(r!=i)for(int j=0;j<=n;j++)swap(a[r][j],a[i][j]);
        for(int k=i+1;k<n;k++){
            double f=a[k][i]/a[i][i];
            for(int j=i;j<=n;j++)a[k][j]-=f*a[i][j];
        }
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];
        a[i][n]/=a[i][i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
        e[i].x--;e[i].y--;
        mp[e[i].x][e[i].y]=mp[e[i].y][e[i].x]=1;
        out[e[i].x]++;
        out[e[i].y]++;
    }
    n--;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(mp[i][j])p[i][j]=1.0/out[j];
    for(int i=0;i<n;i++)
        p[i][i]-=1;
    p[0][n]=-1;
    gauss(n,p);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        e[i].w=p[e[i].x][n]/out[e[i].x]+p[e[i].y][n]/out[e[i].y];
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=e[i].w*i;
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}