网络流--最大权闭合子图 *
网络流–最大权闭合子图
做题的时候看到题解中出现了最大权闭合子图这个概念，然后就查阅资料研究了一下
第一，什么是闭合图呢？
在一个图中，我们选取一些点构成集合，且集合中的点向外连出的弧所指向的终点也在集合中，则我们称这个集合为闭合图
那么最大权闭合图就是所有闭合图中权值和最大的一个
了解了概念之后，我们如何对这一类问题进行解决呢？
我们构造一个流量网络满足以下条件：
1 存在源点S和汇点T
2 对于所有权值为正的点，连接一条容量为点权，从S到这个点的边
3 对于所有权值为负的点，连接一条容量为点权相反数，从这个点到T的边
4 原图中连接两点的边，在流量网络中用容量为INF的边连接
在最大权闭合图中，有以下性质：
1 最小割为简单割：割集的每条边都与S或T关联
我们可以发现，因为中间连接的所有边都是INF的边权，所以不可能成为割边，于是割集的每条边要么和S相连，要么和T相连
2 最小割和S点关联的集合减去S点就是最大权闭合图
定义：
* S连接的割边带来的分割后在T集边权为正的点的权值和S1
* S连接的割边带来的分割后在T集边权为负的点的权值和S2
* T连接的割边带来的分割后在S集边权为正的点的权值和T1
* T连接的割边带来的分割后在S集边权为负的点的权值和T2
根据闭合图的割是简单割，因为和S，T相连的割边的大小和割边中的点在原图中的权有直接关系，那么我们可以得到：割的大小=S1-T2
又因为我们可以发现图中所有的正点权和=S1+T1
所以图中所有的正点权和-割的大小=T1+T2=和S相连的闭合子图的权
所以当割为最小割时，闭合子图权值最大
参考文献：最小割模型在信息学竞赛中的应用
