BZOJ1096 ZJOI2007 仓库建设 【斜率优化DP】

 

BZOJ1096 ZJOI2007 仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：
　　1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
　　2：工厂i目前已有成品数量Pi;:
　　3：在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含三个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

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斜率优化的式子感觉长得差不多
反正是很可推的
这道题斜率式子推出来大概就是

(f[j]+sum[j]-f[k]-sum[k])/(p[j]-p[k])

其中f是DP数组，sum是单个点运送到1号节点的花费的前缀和（容斥一下），p是储存物品数量的前缀和

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000000+10
#define LL long long
LL d[N],p[N],c[N],n;
LL sum[N],f[N],q[N],sumd[N];
double calc(int j,int k){
    return (double)(f[j]+sum[j]-f[k]-sum[k])/(double)(p[j]-p[k]);
}
int main(){
    freopen("1096.in","r",stdin);
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&d[i],&p[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+p[i]*d[i];
        p[i]+=p[i-1];
    }
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(l<r&&calc(q[l],q[l+1])<d[i])l++;
        f[i]=f[q[l]]+d[i]*(p[i]-p[q[l]])-sum[i]+sum[q[l]]+c[i];
        while(l<r&&calc(q[r-1],q[r])>calc(q[r],i))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}