欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法和扩展欧几里得算法


欧几里得算法

说白了就是辗转相除算法
我们在求a和b的gcd的时候
首先我们会发现gcd(a,b)=gcd(ab,b) (a>=b)
那么我们不停地迭代就发现gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)
然后我们就可以不停地迭代下去
当小的数等于0的时候答案就是大的那个数
最后写出来就是

int gcd(int a,int b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得

然后我们需要求的从gcd(x,y)变成了ax+by=c
也就是不定方程求解
然后考虑一个不定方程
ax+by=c有解的充要条件就是gcd(a,b)|c
即,我们想求出满足ax+by=gcd(a,b)的解
然后惊讶的发现gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
然后我们用ba mod b代替ab
发现gcd(a,b)=bx+(a mod b)y
又因为a mod b=a(a/b)b(这里是整除)
所以gcd(a,b)=bx+(a(a/b)b)y
整理一下gcd(a,b)=ay+b(x(a/b)y)
又惊讶地发现:
x>y
y>x(a/b)y
然后就可以利用exgcd的过程进行求解了

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b)x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}

但是问题又来了
我们怎么求出最小的正整数解呢
首先我们还原一下式子,把x,y同时乘上c/gcd(a,b)
又因为通解可以表示成:
x=x+bgcd(a,b)k
y=yagcd(a,b)k
所以x的最小正整数解就是(x%bgcd(a,b)+bgcd(a,b))%bgcd(a,b)

posted @ 2018-08-04 15:57  Dream_maker_yk  阅读(128)  评论(0编辑  收藏  举报