二维计算几何学习和理解（1）

二维计算几何学习和理解（1）

---

向量

---

定义：

• 向量：向量表示的是位移，用AB→$\overrightarrow{AB}$表示A到B的位移，在计算机中通常用一个有序数对v=(x,y)$v=(x,y)$来表示
• 模：向量的模的含义是向量的长度，表示为|v|=x2+y2−−−−−−√$|v|=\sqrt{x^2+y^2}$
• 极角：向量的极角含义是向量v$v$绕x正半轴旋转的角度，通常用atan2(y,x)$atan2(y,x)$来计算v=(x,y)$v=(x,y)$的极角，注意这里atan2的取值是(−π,π]$(-\pi ,\pi ]$
• 法向量：和向量垂直的向量称为法向量，单位向量v⃗ $\overrightarrow{v}$的法向量是f⃗ =(−vy,vx)$\overrightarrow{f}=(-v_y,v_x)$
• 点积：两个向量a,b$a,b$的点积的集合意义是向量a在向量b上的投影的模长乘上b的模长
• 叉积：叉积是个标量，其集合意义是两个向量经过平移形成的平行四边形的有向面积

---

运算:

• 向量和点的运算：
  
  • 点+向量=点
  • 点-向量=点
  • 点-点=向量
• 向量和向量或数的运算：
  
  • 向量+向量(a⃗ +b⃗ =(ax+by,ay+by)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_x+b_y,a_y+b_y)$)
  • 向量-向量(a⃗ −b⃗ =(ax−by,ay−by)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_x-b_y,a_y-b_y)$)
  • 向量*数(a⃗ ∗b=(ax∗b，ay∗b)$\overrightarrow{a}\ast b=(a_x\ast b，a_y\ast b)$)
  • 向量/数(a⃗ /b=(ax/b,ay/b)$\overrightarrow{a}/b=(a_x/b,a_y/b)$)
• 点积运算：a⃗ ⋅b⃗ =ax∗bx+ay∗by=|a||b|cosθ$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=a_x\ast b_x+a_y\ast b_y=|a||b|cos\theta$
• 叉积运算：a⃗ ×b⃗ =ax∗by−ay∗bx$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=a_x\ast b_y-a_y\ast b_x$
• 向量旋转：把某个向量逆时针旋转θ$\theta$把向量看成2*1 矩阵，则相当于左乘一个

---

应用：

• 点积的应用：
  
  • 1.判断向量垂直a⋅b=0$a·b=0$<=>a⃗ ⊥b⃗ $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$
  • 2.定义模长：|a|=a⋅a$|a|=a·a$
  • 3.向量单位化：直接向量除以模长
  • 4.向量投影：先求出投影的模，然后用单位向量乘上模长
  • 5.向量对称：先求出模的法向量，然后用原向量减去法向量的两倍
• 叉积的应用：
  
  • 1.判断两个向量的位置关系：a⃗ ×b⃗ $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$为正说明a在b的右边，为负说明a在b的左边，为零说明a和b平行，也可以用右手定则判断一下
  • 2.计算三角形/平行四边形面积