51nod 1244 莫比乌斯函数之和 【杜教筛】

 

51nod 1244 莫比乌斯函数之和

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莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：
如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + … miu(b)。
例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

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杜教筛板子，佬下午讲了我就写一写

考虑令h=μ∗I
显然h=∑d∣nμ(d)∗I(nd)=[n=1]

现在求一下h的前缀和sumh(n)=∑i=1nh(i)=1

那么同时我们考虑sumh(n)=∑i=1n∑d∣nμ(d)∗I(nd)

sumh(n)=∑i=1n∑d∣nμ(d)

sumh(n)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋μ(d)

sumh(n)=∑d=1n∑i=1n[i≤⌊nd⌋]μ(d)

sumh(n)=∑i=1n∑d=1n[d≤⌊ni⌋]μ(d)

sumh(n)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)

sumh(n)=∑d=1nμ(d)+∑i=2n∑d=1⌊ni⌋μ(d)

令p(n)=∑d=1μ(d)

可以得到sumh(n)=1=p(n)+∑i=2np(⌊ni⌋)

然后就可以得到最后的式子p(n)=1−∑i=2np(⌊ni⌋)

至于杜教筛的复杂度我就不说了

然后这题需要预处理一部分的前缀和来优化，然后就可以了

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然后因为我很懒，就不想写hash table，然后就map代替了
问题不大

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 5000010
#define LL long long
map<LL,LL> mp;
LL mu[N],pri[N],vis[N],tot=0;
void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<N;j++){
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)mu[i*pri[j]]=0;
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<N;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
LL Mertens(LL n){
    if(n<N)return mu[n];
    if(mp[n])return mp[n];
    LL ans=1,j=0;
    for(LL i=2;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        ans-=(j-i+1)*Mertens(n/i);
    }
    return mp[n]=ans;
}
int main(){
    init();
    LL l,r;scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld",Mertens(r)-Mertens(l-1));
    return 0;
}